irrationnalité

Volny DE PASCALE0

Quelqu'un connaitraît-il une preuve géométrique de l'irrationnalité de racine de trois, qui soit comparable à celle de l'irrationnalité de racine de deux ?

Comme la décomposition en fraction continue de racine de trois est 2-périodique, il faut vraissemblablement enchaîner deux constructions pour trouver des triangles semblables, alors qu'une seule suffit pour racine de deux.

Merci d'avance.
Volny

Richard André-Jeannin1

D'un point de vue arithmétique, racine(2), racine(3),..,racine(p), c'est du pareil au même. Je ne comprends pas bien votre histoire de triangles semblables.

Volny DE PASCALE0

Merci de votre intérêt, je craignais bien de devoir être plus explicite.

Je faisais référence à une conférence fort interressante de M. Kahane, dans laquelle il nous faisait réfléchir sur le Théhétete.
Dans ce dialogue de platon, Théétète raconte qu'il est l'éleve d'un géometre (géometrie = mathématique, que nul n'entre ici s'il est géomètre etc...), il me semble que c'est Zénon, et qu'il a appris à démontrer l'irrationnalité des racines carrées de 2, 3, 5, jusqu'à 17, si je ne m'abuse. Je suis en train de rechercher mon exemplaire du Théétete,mais il me faut du temps, et j'ai des conseils de classes demain, VERIFIEZ donc mes allégations et profitez-en pour relire Platon;-)

Donc pourquoi cette limite à 17 ? C'est sans doute parce la démonstration de l'époque était géométrique :

Tracez un carré de coté 1 (apellons le O I B J, avec OI et OJ les vecteurs de base d'un repère orthonormal)

Tracez le cercle de centre O de rayon 1.

Soit D l'intersection de la diagonale OB avec le cercle, et placez C diamétralement opposé à D.

(pour les analystes :
C : (-0,707 ; -0,707)
B: (1 ; 1)
I : (1 ; 0) )

Dans le triangle CIB CB mesure : 1 + racine de 2, et IB mesure : 1
Dans le triangle BDI BI mesure : 1 et BD : -1 + racine de 2

Il est clair que CIB et DBI sont semblables (pourquoi ?).

Donc 1 et racine de deux ne sont pas commensurables :
En effet pour trouver la mesure commune (co-mensurable),
on retranche de la plus grande quantité un certain nombre de fois la plus petite, et si ça ne tombe pas juste, on retranche de la plus petite le reste de la plus grande, et ainsi de suite (on reconnaît bien avant son temps l'algorithme d'Euclide)

Or le fait que les deux triangles soient semblables montre bien que le reste obtenu en enlevant deux fois le petit coté au grand sera toujours dans la même proportion, donc
-que l'opération n'aura pas de fin,
-que la mesure ne tombera jamais juste,
-que le dévelopement en fraction continue ne contient que des deux.

Comme le développement de racine de trois en fraction continue est 2 périodique, il faut que la première figure fasse apparaître la soustraction d'un nombre entier à racine de trois, puis que l'on soustraie le reste en question à 1, puis le second reste au premier, et que l'on fasse alors apparaître une similitude pour passer du troisième triangle au premier.

Je cherche désespérément à construire une telle figure, mais je n'y arrive pas.

Toute aide est bienvenue, merci d'avance.

Olus210

Pour faire une belle figure, il faudra un compas.

Olus

Eric

Tu as la construction pour 17 ainsi que des spéculations sur cette "limite" dans le Hardy & Wright.

Volny DE PASCALE0

Merciiii !
Merci mille fois !

Si je ne trouves pas d'ici peu, je te demanderai la page, pour l'instant je vais me coucher ;-)

Encore merci.
Volny

oumpapah0

bonjour Volny,

une référence qui t'interessera
chez Cassini collection le sel et le fer
"leçons de mathématiques d'aujourd'hui" volume 2
(15€ )
la leçon n°1 est rédigée par Gilles Godefroy (université P et M Curie)
intitulée:de l'irrationnalité à l'indécidabilité
accompagnée d'une bibliographie
tu y trouveras une preuve pour V5 ;Godefroy fait l'hypothese ,invérifiable mais séduisante (je cite) que les pythagoriciens ont pu ainsi découvrir l'irrationnalité de V5 ,grace au pentagone régulier , ce dernier étant l'un de leurs symboles mystiques.
( dans cet ouvrage figurent également des exposes tres interessants de
Tenenbaum, François Morain,et Waldschmidt entre autres pour les amoureux des nbs..n'est ce pas Borde?)

Oump.

Bruno

Voui, Oump, Justement, l'anthyphérèse (? orthographe introuvable, ce terme désigne le procédé consistant à retrancher autant de fois que possible une grandeur d'une autre; c'est la version purement géométrique de l'algorithme d'Euclide) appliquée à $\sqrt 5$ fonctionne remarquablement bien et c'est pour cela que l'on peut admettre que cette raison a été la première à être identifiée comme irrationnelle:-)) c'est déjà plus délicat pour~$\sqrt 2$; quant à $\sqrt 3$, j'obtiens pour le moment des tas de triangles semblables mais aucun de paraît pertinent pour le problème.

Bruno

borde

Salut Oump,

Je ne connaissais pas l'ouvrage que tu cites, mais je vais essayer de le voir.

Merci,

A bientôt,

Borde.

Volny DE PASCALE0

Essayez "antiphérèse" ;-)

Cf post n° 3 pour racine de 2, la construction est déjà relativement simple, celle du pentagone doit être très jolie.

Volny

Bruno

Bonjour Volny.

Merci pour l'"antiphérèse".

On étudie le rapport entre le côté du pentagramme $ACEBD$ et celui du pentagone $ABCDE$. En retranchant $AB$ de $EB$, on obtient $EB - BC' = EC' = C'A'$, puis en ôtant $C'A'$ de $BC'\ (= AB)$ on obtient $C'D'$ par conséquent, comme la figure $A'B'C'D'E'$ est semblable à la figure $ABCDE$, le processus ne peut pas s'arrêter et les segments $AB$ et $BE$ n'ont pas de partie aliquote.

Bruno

oumpapah0

bravo bruno..

Oump

jmb0

Bonsoir à tous,

Pour l'antiphérèse de $\sqrt{2}$, j'avais en réserve la figure ...

jmb0

Bonsoir à tous,

Pour l'antiphérèse de $\sqrt{2}$, j'avais en réserve la figure ...

jmb0

Bonsoir à tous,

Pour l'antiphérèse de $\sqrt{2}$, j'avais en réserve la figure ...

Cordialement,
J.-M. B.

Bruno

Je me suis quand même emmêlé les pinceaux.

Ce n'est pas de $\sqrt 5$ que l'on montre l'irrationalité, mais de $\Phi = \dfrac {1 + \sqrt 5} 2$; c'est quand même ce nombre là qui a probablement été identifié comme le premier irrationnel.

Bruno

Eric

J'ai un bouquin ( Miklos Laczkovich, \emph{Conjectures and Proof}, MAA, 2001) qui donne une démo géométrique pour $\sqrt{2}$ mais où il est précisé que cette démo ne se généralise qu'aux entiers de la forme $m^2+1$. Pas sur donc que la construction que tu cherches pour $\sqrt{3}$ existe.

Benoit0

Pour ceux que ça intéresse on peut aussi utiliser des matrices (cf. article en pj à la fin)

oumpapah0

Bonjour Benoit,
merci pour la référence de l'article.
à imprimer immédiatement.
tres interessant.
Oump.

Benoit0

Content d'apprendre quelque chose à Oump :-)

J'en profite pour transmettre ce très court papier de Conway sur sqrt(2).

oumpapah0

rigolo..
(et , ce que je connais est un ilot perdu dans un océan d'ignorance!)
Oump.