Convergence faible
Bonjour.
Soit $(e_n)$ une base orthonormée d'un espace de Hilbert séparable $H$.
Il est bien connu que la suite $(e_n)$ converge faiblement vers $0$.
Appliquons ceci sur $H=(L^2(\Bbb{R}^{2d}), ||||_2 )$ avec $d\in \Bbb{N}^*$ dont une base orthonormée est donnée par la famille $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$
où $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ et $|\alpha|=|\alpha_1|+\dots+|\alpha_d|$.
comment on fait exprimer que la famille $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$ converge faiblement.
Merci.
Soit $(e_n)$ une base orthonormée d'un espace de Hilbert séparable $H$.
Il est bien connu que la suite $(e_n)$ converge faiblement vers $0$.
Appliquons ceci sur $H=(L^2(\Bbb{R}^{2d}), ||||_2 )$ avec $d\in \Bbb{N}^*$ dont une base orthonormée est donnée par la famille $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$
où $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ et $|\alpha|=|\alpha_1|+\dots+|\alpha_d|$.
comment on fait exprimer que la famille $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$ converge faiblement.
Merci.
Réponses
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Bah on applique la définition, pour tout élément $f$ de ton Hilbert, $$\langle \Phi_{\alpha, \beta}, f \rangle ~\xrightarrow[|\alpha|,\, |\beta| \to + \infty]{}~ 0.$$ Cela vient du fait que la famille des $$\langle \Phi_{\alpha, \beta}, f \rangle$$ est de carré sommable.
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Merci @Poirot.
Je serais très reconnaissant si quelqu'un pouvait me dire si ce raisonnement est correct suite à la définition donnée par @Poirot. Le voilà
Soit $R$ un opérateur auto-adjoint différentiel, agissant sur $L^2(\Bbb{R}^{2d}), d\in \Bbb{N}^*$ et diagonalisable dans une base orthonormée $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$ tel que:
$$R \Phi_{\alpha,\beta}= (|\alpha|-|\beta|)\Phi_{\alpha,\beta}$$
où $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ et $|\alpha|=|\alpha_1|+\dots+|\alpha_d|$.
Soit $(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}$. Je veux montrer que s'il existe une suite $(u_{\alpha,\beta})$ de $L^2(\Bbb{R}^{2d})$ vérifiant:
1]- $u_{\alpha,\beta}\overset{faiblement}{\longrightarrow} 0$ i.e., Pour tout $f\in L^2(\Bbb{R}^{2d})$ on a $<f,u_{\alpha,\beta}>\to 0$ quand $|\alpha|\to\infty;|\beta|\to\infty$.
2]- $\big(R- (|\alpha|-|\beta|) u_{\alpha,\beta} \big) \overset{L^2(\Bbb{R}^{2d})}{\longrightarrow} 0$ quand $|\alpha|\to\infty;|\beta|\to\infty$.
3]- $||u_{\alpha,\beta}||=1$ pour tout $(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}$.
Alors $u_{\alpha,\beta}=c\Phi_{\alpha,\beta}$ avec $|c|=1$.
Voilà mon raisonement.
Puisque $u_{\alpha,\beta}\in L^2(\Bbb{R}^{2d})$ donc $u_{\alpha,\beta}=\sum_{\alpha',\beta'} c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}\Phi_{\alpha',\beta'}$ (la convergence de cette série étant dans $L^2(\Bbb{R}^{2d})$) .
Donc $\big(R- (|\alpha|-|\beta|) u_{\alpha,\beta} \big)=\sum_{\alpha',\beta'} c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}\big((|\alpha'|-|\beta'|) - (|\alpha|-|\beta|) \big) \Phi_{\alpha',\beta'}$
(j'ai utilisé juste $ R \Phi_{\alpha',\beta'}= (|\alpha'|-|\beta'|)\Phi_{\alpha',\beta'}$).
Donc $||\big(R- (|\alpha|-|\beta|) u_{\alpha,\beta}||^2=\sum_{\alpha',\beta'} \Big|c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}\big((|\alpha'|-|\beta'|) - (|\alpha|-|\beta|) \big) \Big|^2$.
Par le $2$ et $3$ de l'hypothèse nécessairement $$ \Big|c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'} \Big|=0$$.
Pour $(\alpha',\beta')\not\in \Omega_{(\alpha,\beta)}=\{(\alpha',\beta')\in \Bbb{N}^{d}: |\alpha'|-|\beta'|=|\alpha|-|\beta|\}$.
Maintenant par l'hypothèse $1$, pour $f=\Phi_{\alpha',\beta'}$ on a :$$<u_{\alpha,\beta},\Phi_{\alpha',\beta'}>=c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'} \to 0$$
quand $|\alpha|\to\infty;|\beta|\to\infty$.
Mais $||u_{\alpha,\beta}||^2=\sum_{\alpha',\beta'}| c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}|^2=1$
Donc je prends $|\alpha|\to\infty;|\beta|\to\infty$ pour les deux membres, et par suite nécessairement les trois conditions:
$|c^{\alpha,\beta}_{\alpha,\beta}|=1$
$ c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}=0$ si $|\alpha'|-|\beta'|=|\alpha|-|\beta|$ et $(\alpha',\beta')\not=(\alpha,\beta)$.
et $ c^{\alpha,\beta}_{\alpha',\beta'}=0$ si $( \alpha',\beta')\not\in \Omega_{\alpha,\beta}$
d'où le résultat. -
@ Poirot . Veuillez me dire votre avis sur la preuve donnée dans le dernier post.
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Désolé je ne connais rien aux opérateurs différentiels.
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Bonjour. je serais très reconnaissant si quelqu'un pouvait me discuter le situation suivante.
Soit $R$ un opérateur auto-adjoint différentiel de domaine $D(R)=\{u\in L^2(\Bbb{R}^{2d}): Ru\in L^2(\Bbb{R}^{2d})\}$ ($Ru$ est prise au sens des distributions). On suppose aussi que $R$ est diagonalisable dans une base orthonormée $(\Phi_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in \Bbb{N}^{d}}$ tel que : $$R \Phi_{\alpha,\beta}= (|\alpha|-|\beta|)\Phi_{\alpha,\beta},$$ où $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)$ et $|\alpha|=|\alpha_1|+\dots+|\alpha_d|$.
Soit $m\in \Bbb{Z}$. Je veux montrer que s'il existe une suite $(u_{n})\in D(R)$ (qui dépend de $m$) vérifiant :
1]- $u_{n}\overset{faiblement}{\longrightarrow} 0$ i.e., Pour tout $f\in L^2(\Bbb{R}^{2d})$ on a $<f,u_{n}>\to 0$ quand $n\to\infty$.
2]- $\big(R- m) u_{n} \big) \overset{L^2(\Bbb{R}^{2d})}{\longrightarrow} 0$ quand $n\to\infty$.
3]- $||u_n||=1$ pour tout $n\in \Bbb{N}$.
Alors $u_{n}=c\Phi_{\alpha,\beta}$ avec $|c|=1$ et $\alpha-\beta=m$.
Voilà mon raisonnement.
Puisque $u_{n}\in L^2(\Bbb{R}^{2d})$ donc $u_{n}=\sum_{\alpha',\beta'} c^{n}_{\alpha',\beta'}\Phi_{\alpha',\beta'}$ (la convergence de cette série étant dans $L^2(\Bbb{R}^{2d})$). Donc $$
\big(R- m) u_{n} =\sum_{\alpha',\beta'} c^{n}_{\alpha',\beta'}\big((|\alpha'|-|\beta'|) - m\big) \Phi_{\alpha',\beta'}
$$ (j'ai utilisé juste $ R \Phi_{\alpha',\beta'}= (|\alpha'|-|\beta'|)\Phi_{\alpha',\beta'}$ et $(\sum g_k)'= (\sum (g_k)')$.
Donc $$||\big(R- m) u_{n}||^2=\sum_{\alpha',\beta'} \Big|c^{n}_{\alpha',\beta'}\big((|\alpha'|-|\beta'|) - m \big) \Big|^2.
$$ Maintenant par l'hypothèse $1$, pour $f=\Phi_{\alpha',\beta'}$ (ici, je signale que $u_n$ dépend de $ m=|\alpha|-|\beta|$, donc il faut que $(\alpha',\beta')\not=(\alpha,\beta)$).
On a : $$<u_{n},\Phi_{\alpha',\beta'}>=c^{n}_{\alpha',\beta'} \to 0$$ quand $n\to\infty$.
Mais $||u_{n}||^2=\sum_{\alpha',\beta'}| c^{n}_{\alpha',\beta'}|^2=1$
Donc je prends $n\to\infty$ pour les deux membres, et par suite nécessairement :
$|c^{n}_{\alpha,\beta}|=1$
$ c^{n}_{\alpha',\beta'}=0$ avec $(\alpha',\beta')\not=(\alpha,\beta)$.
d'où le résultat.
Est ce que ceci est correct ?.
Merci pour d'avance toute remarque.
[Restons dans le fil que tu as déjà ouvert sur le sujet. Poirot]
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Bonjour!
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