Entiers consécutifs à 64 diviseurs

Bonjour,

En sirotant mon café ce matin, je contemplais les termes de la suite A172443 (*) (évoquée il y a peu dans ce fil), lorsqu'une question m'est venue : existe-t-il deux termes de cette suite dont la différence vaut $1$ ?

Sage me répond que oui, il y en a plein ! Les deux premiers sont $3341624=2^3\times11\times13\times23\times127$ et $3341625=3\times5^3\times7\times19\times67$.

$\hookrightarrow$ Y a-t-il une infinité de tels "jumeaux" ? Ou bien la question de trouver $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_n)$ est-elle difficile ?

(*) Il s'agit de la suite $u_1<u_2<u_3<\cdots$ des entiers possédant $64$ diviseurs positifs distincts.

Réponses

  • Vu que l'étude du même problème en remplaçant $64$ par $2$ est très difficile, j'ai bien envie de dire que celui-ci aussi est compliqué :-D
  • Oui, c'est aussi ce que j'ai tendance à penser :-) mais sait-on jamais ?
    Je lis ici que le résultat de Zhang a été considérablement amélioré : on a $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n})\leqslant 246$ (je ne sais pas si on a fait mieux depuis ?).
    Pour la suite $(u_n)$ qui m'occupe, on peut donc en déduire que $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_{n})\leqslant 840\times246=206640$.
    Mais on peut peut-être dire mieux ?
  • Pourquoi utilises-tu $840$ ?
  • Il me semble que $840=2^3\times3\times5\times7$ est le plus petit entier possédant $32$ diviseurs positifs.
    En prenant deux nombres premiers $p$ et $q$ strictement supérieurs à $7$ tels que $0<p-q\leqslant246$, les entiers $840p$ et $840q$ ont chacun $64$ diviseurs positifs et sont séparés par au plus $840\times246$.
  • Sauf erreur, en utilisant cet article, on peut même prouver que $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(u_{n+1}-u_n)\leqslant 5005\times6=30\,030$. Le facteur $5005$ est le plus petit entier premier avec $6$ qui possède exactement $16$ diviseurs positifs. Mais un raisonnement plus astucieux que le mien (et une compréhension plus fine de l'article précédent que la mienne !) permet(ent) peut-être de remplacer $5005$ par plus petit ?

    Il existe peut-être d'autres résultats dans la littérature qui permettent de faire encore mieux ?
  • Bien vu pour ta méthode du $840$. Pour le reste de ta question je ne suis pas au courant des meilleurs résultats dans la littérature malheureusement.
  • uvdose a écrit:
    En sirotant mon café ce matin, je contemplais les termes de la suite $u_1<u_2<u_3<\dots$ des entiers possédant 64 diviseurs positifs distincts, lorsqu'une question m'est venue : existe-t-il deux termes de cette suite dont la différence vaut 1 ? Y a-t-il une infinité de tels "jumeaux" ?
    Poirot a écrit:
    Vu que l'étude du même problème en remplaçant 64 par 2 est très difficile, j'ai bien envie de dire que celui-ci aussi est compliqué .
    Moi, je sais répondre à cette question pour le cas 2... même sans poster dans shtam !
    Mais je ne voudrais pas commettre d'impair :)o
  • Je parlais de l'étude la limite inférieure en question bien sûr ;-)
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