Matrice rationnelle

Krokop

Bonjour,

Étant donné une matrice $M$ finie à coefficients rationnels.

Est-ce que la norme (peut importe a priori même si je regardais la norme d'opérateur ) de $M$ est un nombre algébrique ?

Math Coss

Si $\|\cdot\|$ est une norme, $\pi\|\cdot\|$ en est une autre. Or $\|M\|$ et $\pi\|M\|$ ne sont pas tous deux des nombres algébriques.

Krokop

Oui mais justement cela ne revient-il pas à changer la matrice $M$ en une matrice $M'$ qui n'est plus à coefficients rationnels ?

Poirot

Math Coss ne change pas la matrice mais la norme. Comme une norme d'opérateur est associée à une norme sur l'espace vectoriel sous-jacent, cela prouve que ce que tu dis est faux en général.

Krokop

L'argument ne me "plait" pas .

Bon, c'est vrai pour la norme euclidienne. On a $\Vert M \Vert=\sqrt{\lambda_{max}(M^TM)}$, le polynôme caractéristique de $M^TM$ étant à coefficients rationnels, le résultat s'ensuit. (sauf erreur )

Math Coss

Même (mauvais ?) esprit : $\|M\|^2 = a_{11}^2+\pi a_{12}^2+\pi^2 a_{21}^2+\mathrm{e}a_{22}^2$ (avec des modules si on veut passer sur les complexes).