fonction analytique

emmanuel

J'ai un doute:

Soit f une fonction analytique complexe sur un ouvert U de $\C$. Soit a$\in$U. Le développement en série entière de f en a s'écrit sur un voisinage D(a,r) de a:
f(z)=$\sum_{n=0}^{$\infty$}$a$_n$(a)$(z-a)^n$

a) Puis-je écrire cette formule pour tout z$\in$U (et non uniquement sur le voisinage D(a,r))?
b) Même question pour le développement de Laurent sur une couronne à l'intérieure de laquelle f est analytique.
c) Et dans le cas analytique réel?

Merci d'avance pour votre aide.

Emmanuel

Ludovic

a) non, pas en générale. En fait, tu peux le faire sur la plus grande boule de centre a qui s'inscrive dans U mais, a priori, pas plus.

b) a fortiori non. la propriété a doit resté vrai mais je ne suis pas sûr et certain.

c) encore a fortiori non, mais là la propriété a est fausse.

emmanuel

Merci pour ta réponse Ludovic,
Aurais-tu une démonstration (ou une référence où je pourrais en trouver une) de a) sur la plus grande boule ouverte?
Merci d'avance,
Emmanuel

Alain Debreil

J'ai un doute:

Soit f une fonction analytique complexe sur un ouvert $U \subset \C$. Soit $a\in U$. Le développement en série entière de $f$ en $a$ s'écrit sur un voisinage $D(a,r)$ de $a$:
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(a)(z-a)^n$

a) Puis-je écrire cette formule pour tout $z\inU$ (et non uniquement sur le voisinage $D(a,r)$)?
b) Même question pour le développement de Laurent sur une couronne à l'intérieure de laquelle $f$ est analytique.
c) Et dans le cas analytique réel?

Merci d'avance pour votre aide.

Emmanuel

emmanuel

En fait la démo du a) recherchée c'est tout simplement la démo de l'analyticité des fonctions holomorphes sur un ouvert simplement connexe. Donc c'est bon j'ai ma démo. Dans le cas d'un ouvert U quelconque, les coefficients an(a) sont les mêmes dans le dev de f(z) pour tout z dans $D(a,R)$ (ouvert simplement connexe) avec $R=d(a, $\C$ -U) $.
Même approche pour le b) donc le résultat est valable sur la couronne toute entière.
Pour le c) (cas analytique réel) je n'y vois pas clair et ne trouve pas de contre-exemple. Dans quelle mesure peut-on considérer le cas réel comme une restriction du cas complexe? Quelqu'un peut-il m'aider?
Merci d'avance,
Emmanuel

Alain Debreil

$R=d(a, \C -U) $

archimède0

Soit une fonction $f$ holomorphe dans une couronne ouverte $C$ de centre $z_0$. Alors $f$ est développable en série de Laurent dans cette couronne : $\exists (a_n)_{n\in\Z},\ \forall z\in C,\ \displaystyle f=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\,(z-z_0)$.

Soit une fonction $f$ holomorphe dans un disque ouvert $D$ de centre $z_0$. Alors $f$ est développable en série entière dans ce disque : $\exists (a_n)_{n\in\N},\ \forall z\in D,\ \displaystyle f=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\,(z-z_0)$.

voir par exemple H. Cartan, théorie des fcts analytiques d'une ou plusieurs variables complexes

Dans le cas analytique réel, il faut prolonger la fonction à un ouvert du plan complexe et utiliser ce qui précède.