Convergence en loi

paf

$\renewcommand{\R}{\mathbb R}$

Bonjour,

J'ai lu quelque part la remarque suivante que j'ai essayé de prouver :

Si $(X_n)$ est une suite de variables aléatoires réelles, si $X$ est une variable aléatoire réelle et $a\in\R$ sont tels que 
$$\sqrt{n}(X_n-a)\xrightarrow{\mathcal L} X$$
alors $X_n\xrightarrow{\mathbb P} a$.
 

Déjà, je sais qu'il suffit de prouver que $X_n-a$ converge en loi vers 0. 
A partir de là, je tente d'utiliser la caractérisation de la convergence en loi avec les fonctions caractéristiques. On cherche donc à prouver que $\forall t\in\R$, $\varphi_{X_n-a}(t)$ converge vers $\varphi_0(t)=1$ et on sait que $\forall t\in\R$, $\varphi_{\sqrt{n}(X_n-a)}(t)$ converge vers $\varphi_X(t)$. 

Mais on note que $\forall t\in\R, \forall n\in\mathbb N^*$ :
$$\varphi_{X_n-a}(t)=\varphi_{\sqrt{n}(X_n-a)}\left(\dfrac{t}{\sqrt{n}}\right).$$

On a envie de dire que ce truc converge vers $\varphi_X(0)=1$, qui plus est avec la continuité des fonctions caractéristiques mais on n'a qu'une convergence simple...
On est cependant sauvés grâce à un résultat qui montre que la convergence en loi implique la convergence uniforme sur tout compact des fonctions caractéristiques (cf. https://math.stackexchange.com/questions/691925/weak-convergence-implies-uniform-convergence-of-characteristic-functions-on-boun) grâce auquel on montre que
$$\varphi_{X_n-a}(t)=\varphi_{\sqrt{n}(X_n-a)}\left(\dfrac{t}{\sqrt{n}}\right)\xrightarrow{} \varphi_X(0)=1$$
d'où le résultat. 

Mais tout de même, il y a sans doute beaucoup plus simple, non ?

Lucas

> Mais tout de même, il y a sans doute beaucoup plus simple, non ?

Ouaip, avec Slutsky, en écrivant

$$
X_n -a = \frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{n} (X_n -a).
$$

Chalk

Oui il y a plus simple. $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ converge vers la constante $0$ en loi, donc $\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{n}(X_n-a)$ converge en loi vers $0.X=0$ (théorème de Slutsky). Et la convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilité vers cette constante comme tu l'as toi même remarqué. Donc $X_n$ converge en probabilité vers $a$.

Edit : trop lent ...

paf

En effet, c'était tout bête, merci à vous deux ! :-)