Le problème des quatre distances dans $\R^3$

Pour ceux qui ne connaissent pas, le problème des quatre distances est le suivant : soit $OIAJ$ un carré unité du plan euclidien. Existe-t-il un point $M$ du plan tel que les distances $OM$, $IM$, $AM$ et $JM$ soient rationnelles ?

À ma connaissance, il s'agit d'un problème ouvert. Alors, à titre de divertissement, je vous propose de plonger le carré dans l'espace :

Exercice : on se place cette fois dans l'espace euclidien $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé d'origine $O$. Soit le carré unité $OIAJ$, où $I(1,0,0)$, $A(1,1,0)$ et $J(0,1,0)$. Montrer que l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $M$ tels que $OM$, $IM$, $AM$ et $JM$ sont rationnelles est dense dans $\mathcal{E}$.

Réponses

  • Voici les deux ingrédients que j'utilise pour ma recette :

    1) Soit $x_0\in\mathbb{Q}$ ; l'ensemble $E(x_0)$ des $r\in\mathbb{R}^+$ tels que $\sqrt{x_0^2+r^2}$ et $\sqrt{(x_0-1)^2+r^2}$ sont simultanément rationnels est dense dans $\mathbb{R}^+$.

    2) Soient $x_0\in\mathbb{Q}$, $r\in E(x_0)\backslash\{0\}$ et $\mathscr{C}$ le cercle de centre $\Omega(x_0,0,0)$ et de rayon $r$, inclus dans le plan d'équation $x=x_0$. Alors $\mathcal{F}\cap\mathscr{C}$ est dense dans $\mathscr{C}$.
  • Bonjour,

    On suppose démontré l'ingrédient 1).
    Pour $M=(x,y,z) \in \R^3$, on définit $r_1$ la distance avec la droite $(OI)$ et $r_2$ la distance avec la droite $(JA)$.
    Si $x \in \Q$, et si $r_1 \in E(x)$ et $r_2 \in E(x)$, alors $M \in \mathcal{F}$. Donc, pour tout $x \in \Q$, $\mathcal{F}$ contient les tous points $M=(x,y,z)$ tels que la distance dans le plan $\R^2$ entre $(0,0)$ et $(y,z)$ appartient à $E(x)$, et tels que la distance entre $(1,0)$ et $(y,z)$ appartient à $E(x)$. A $x \in \Q$ fixé, comme $E(x)$ est dense, cet ensemble de points $(y,z)$ est dense dans $\R^2$. Comme $\Q$ est dense dans $\R$, $\mathcal{F}$ est dense dans $\R^3$.
  • Merci de t'intéresser à la question, marco !
    Ta méthode est très bien et ne diffère pas vraiment de la mienne.
  • Pour montrer le 1), on peut montrer que si $x$ est un rationnel strictement positif, il existe un sous-ensemble $D$ dense dans $[\sqrt{x}, + \infty[$ constitué de rationnels $y$ tels que il existe un rationnel $z$ tels que $y^2-z^2=x$.
    On choisit $y(t)=\frac{1}{2} (t+\frac{x}{t})$, $z(t)=\frac{1}{2}(t-\frac{x}{t})$, où $t$ décrit $\Q^{+*}$.
    Le minimum de $y(t)$, si on choisit $t$ réel strictement positif, est atteint lorsque $t=\sqrt{x}$, et alors $y(t)=\sqrt{x}$.
    $y(t)$ tend vers $+ \infty$ quand $t$ tend vers l'infini. Donc comme $y(t)$ est continue en fonction de $t$ réel strictement positif, et comme $\Q^{+*}$ est dense dans $\R^{+*}$, l'ensemble $D=\{y(t) ~| ~t \in \Q^{+*}\}$ est dense dans $[\sqrt{x}, + \infty[$.

    Ensuite, on choisit $x=2x_0-1$ si $x_0>\frac{1}{2}$. Alors $x_0\geq \sqrt{x}$, car $x_0^2-2x_0+1\geq 0$. Il existe un ensemble $G$ dense dans $[x_0, +\infty[$ de rationnels $y$ tels que $y^2\geq x_0^2$ et tels qu'il existe $z$ rationnel tel que $y^2-z^2=2x_0-1$.
    Lorsque $y \in G$, soit $$r= \sqrt{y^2-x_0^2},$$ alors $$\sqrt{x_0^2+r^2}=y$$ et $$\sqrt{(x_0-1)^2+r^2}=\sqrt{y^2-2x_0+1}=z$$
    Et l'ensemble décrit par $r$ est bien dense dans $\R^+$.

    Si $x_0\leq \frac{1}{2}$, ça doit être pareil.
  • @marco (tu)
    Sauf erreur, tu peux fusionner les cas $x_0>\frac12$ et $x_0\leqslant\frac12$ en remarquant que $y:t\mapsto\frac12\left(t+\frac{2x_0-1}{t}\right)$ réalise une bijection continue de $\left[m,+\infty\right[$ vers $\left[|x_0|,+\infty\right[$, avec $m=\max(1,|2x_0-1|)$.
  • D'accord, merci. Ou alors, on peut aussi faire une symétrie $x_0 \mapsto 1-x_0$ qui transforme $x_0^2$ en $(x_0-1)^2$ et $(x_0-1)^2$ en $x_0^2$, et le cas $x_0>\frac{1}{2}$ en $x_0<\frac{1}{2}$.
  • Bonsoir,
    Je passais un peu par hasard et j'applique à ce problème ma méthode : Qu'est-ce que je sais, sans tabou, ni a priori.
    J'ai dans le plan un point $M$ et ce qui entre en jeu ce sont les distances (euclidiennes) de $M$ à $O,I,J,K$. Comment décrire $M$ pour que les représentations soient les plus simples possibles.
    Si le problème a une solution $M$, ce point est situé sur une droite $OM$. Sans hésiter, je prends la représentation polaire et ... Je verrai bien.
    Soit donc $M=(r,t)$ une représentation polaire de $M$. Alors $d(O,M)=r$.
    Première conclusion : S'il existe une solution elle est situé sur un cercle centré en $O$ et de rayon rationnel.
    Vous me suivez ? Alors continuez.

    Je vous laisse à vos méditations. Vous allez probablement tomber sur la question suivante : existe-t-il un angle $t$ tel que $\sin t$ et $\cos t$ soient simultanément rationnels ?

    Cordialement,
    zephir
  • marco a écrit:
    Il existe un ensemble $G$ dense dans $[x_0,+\infty[$ de rationnels $y$ tels que $y^2>x_0^2$ et tels qu'il existe $z$ rationnel tel que $y^2-z^2=2x_0-1$
    Affirmation un peu rapide. Je ne sais pas la démontrer. Je ne sais pas trouver le $z$ quand $y^2-2x_0+1$ n'est pas le carré d'un rationnel, mais peut-être qu'en se limitant à certains $y$ qui vérifient cette propriété, on aboutit. Cet ensemble est-il dense ? évident ?
  • @zephir : pourquoi affirmation rapide ? Celle-ci me paraît pourtant bien étayée par les lignes qui précèdent... On prend pour $G$ l'ensemble des $\frac12\left(t+\frac{2x_0-1}{t}\right)$ lorsque $t$ décrit $\mathbb{Q}^{+*}\cap\,]m,+\infty[$, où $m=\max(1,2x_0-1)$.
  • Réponse un peu tardive,

    Définissant $M$ par ses coordonnées polaires $(r,t)$, Nous devrons avoir la rationnalité des quatres quantités $$r,\ \ \ (1-2r\cos t+r^2)^{\frac 1 2},\ \ \ (1-2r\sin t+r^2)^{\frac 1 2},\ \ \ (1-2r(\cos t+\sin t)+r^2)^{\frac 1 2}$$ce qui conduit à la rationalité de $r$, $u=r\cos t$ et de $v=r\sin t$. Après réduction au même dénominateur et élimination de ce dernier,le triplet $(u,v,r)$ est pythagoricien. Or les triplets pytagoriciens sont connus, donc ...
    Ce n'est pas encore fini.
  • @zephir : es-tu en train d'essayer de résoudre le problème dans le plan ?
  • Ben oui ! en tout cas, j'essaie pour voir.
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