Quadrilatère à cotés et diagonales entiers

Bonjour,

Peut-on généraliser le résultat qui a été prouvé dans ce fil initié par Soland ?

Plus précisément, soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan euclidien tels que $AB$, $AC$, $AD$, $BC$ et $BD$ sont des entiers impairs. Si $CD$ est également entier, peut-on affirmer qu'il est divisible par $8$ ?

Je pense savoir démontrer que $CD$ est divisible par $4$. Mais je ne parviens pas à trouver de contre-exemple avec $CD\equiv 4\;[8]$.

Réponses

  • Bonjour,

    il me semble que en regardant modulo $32$ on montre que $8$ divise $u$, mais hélas je dois partir et n'ai pas le temps de vérifier mes calculs!
    A demain.
    Paul
  • Merci Paul de t'intéresser au problème ! C'est vrai que je n'ai pas eu le courage de regarder ce que donnait $(\natural)$ modulo $32$...

    Edit : mais oui, tu as raison ! Pour que les calculs soient plus simples, on suppose plutôt que c'est $x$ qui est pair et que $y$, $z$, $t$, $u$ et $v$ sont impairs. On raisonne par l'absurde en supposant que $x^2\equiv16\;[32]$ et on utilise le fait que si $a$ est un entier impair, on a $a^2\equiv 1+8k\;[32]$, pour un certain $k$ dans $\{0,1,2,3\}$. En passant modulo $32$, $(\natural)$ donne alors $16\equiv0$, ce qui est absurde...
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