Convergence des $\mathbb P(X_n\in B)$

paf

Bonjour,

On trouve dans tout bon cours sur le sujet le fait que la convergence en loi d'une suite $(X_n)$ de variables aléatoires réelles vers $X$ n'implique pas que pour tout borélien $B$, $\mathbb P(X_n\in \xrightarrow[n\to + \infty]{} \mathbb P(X\in $ (alors que ç'aurait été pour moi une définition naturelle de la convergence en loi...)

En fait, sauf erreur de ma part, il me semble que l'exemple suivant montre que même la convergence en probabilité n'implique pas cette condition :
si $X_n$ est tel que $\forall n\in\mathbb N^*,\;\mathbb P\left(X_n = \dfrac 1n\right) = 1-\dfrac 1n$ et $\mathbb P(X_n=0) = \dfrac 1n$, alors $(X_n)$ converge en probabilité vers $X=0$ mais $\mathbb P(X_n=0) = \dfrac 1n$ ne converge clairement pas vers $\mathbb P(X=0) = 1$.

D'où ma question : est-ce que la convergence presque sûre implique que pour tout borélien $B$, $\mathbb P(X_n\in \xrightarrow[n\to + \infty]{} \mathbb P(X\in $ ?

Cela me paraît raisonnable et je veux bien au moins un indice pour commencer (ou un contre-exemple).

Merci d'avance.

remark

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paf

Merci. Et si on prend des $X_n$ non constantes ?

aléa

Prends $X_n$ qui suit la loi uniforme sur $[0,1/n]$.

paf

Ne s'agit-il pas de $X_n=n.\mathbb 1_{]0;1/n]}$ ? (sur $[0;1]$ avec la mesure de Lebesgue)

remark

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paf

Oui tout à fait, merci à vous deux.
J'avais dit ça parce que je ne voyais pas du tout comment on obtenait la convergence presque sûre (alors que c'est ballot : si $X_n$ suit la loi uniforme sur $[0;1/n]$, alors $\forall \omega,\;0\leq X_n(\omega)\leq 1/n$).
Bon, je ne suis pas encore au point...

paf

Du coup, je voulais savoir si la propriété "$\displaystyle \forall B\in\mathcal B(\mathbb R),\;\lim_{n\to +\infty}\mathbb P(X_n\in = \mathbb P(X\in $" implique une des convergences. En fait, le théorème "portemanteau" montre que cette propriété implique la convergence en loi. Par contre, sauf erreur, elle n'implique pas la convergence en proba (et donc pas les autres) : en effet, si $X_0$ est une v.a. suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 et si $\forall n\in\mathbb N,\;X_n:=X_0$ et si $X:=1-X_0$, alors pour tout borélien $B$, $\mathbb P(X_n\in $ converge vers $\mathbb P(X\in $ mais $X_n$ ne converge pas en proba vers $X$ puisque $\forall n\in\mathbb N,\;X_n-X=2X_0-1$ prend les valeurs 1 ou -1 et donc $\forall \varepsilon\in ]0;1[,\forall n\in\mathbb N,\;\mathbb P(|X_n-X|>\varepsilon)=1$ ne tend pas vers 0. 

J'ai deux questions :
1) est-ce que ce que j'ai écrit ci-dessus est correct ? 
2) est-ce que cette condition qui me paraît naturelle a été étudiée ? Ou alors pourquoi on lui préfère la convergence en loi ?

girdav

Oui, ce que tu as écrit est correct.

La convergence que tu mentionnes est appelée "strong convergence of probability measures" dans la littérature anglophone. Elle est équivalente à
$$\tag{*} \lim_{n\to +\infty}\mathbb E\left(f(X_n)\right)= \mathbb E\left(f(X)\right) $$
pour toute fonction borélienne bornée $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ alors que la convergence en loi est équivalent à (*) pour toute fonction continue bornée $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$.

paf

Merci beaucoup !