Indépendance, fonction de variable aléatoire

paf

Bonjour,

Soit $X_1,\dots,X_n$ une suite finie de variables aléatoires réelles et $f : \mathbb R^n\to \mathbb R$ une fonction borélienne.
$Y:=f(X_1,\dots,X_n)$ est donc une variable aléatoire réelle mais est-il vrai que $Y$ ne peut pas être indépendante des $X_i$ ?

Auriez-vous au moins un indice ?

Merci d'avance.

Chalk

C'est faux, prends f constante par exemple.

gerard0

Bonjour.

Que se passe-t-il si f est constante ?

Cordialement.

[édit : battu sur le fil !]

P.

Il faut quand meme supposer $f$ non constante. Si $X$ et $Y$ sont independantes alors pour tous $A$ et $B$ on a $$\Pr(A\cap f^{-1}(B))=\Pr(A)\Pr(f^{-1}(B));$$ en particulier en prenant $A=f^{-1}(B)$ on a pour tout $B$ que $\Pr(f^{-1}(B))=0$ ou $1,$ ce qui entraine que $f$ est presque surement constante.

paf

Merci beaucoup. C'était quand même très simple...