Théorème de Ramsey mesurable

Seirios

Bonjour à tous,

Le théorème de Ramsey affirme que, pour tout $n \geq 1$, il existe un $C(n) \geq 1$ tel que, si je colorie les arêtes d'un graphe complet ayant au moins $C(n)$ sommets avec deux couleurs, alors je peux trouver un sous-graphe monochrome avec au moins $n$ sommets. Je me demandais s'il était possible de démontrer une version mesurable de ce résultat. Disons disons quelque chose comme :

Pour tout $r >0$, il existe $C(r)>0$ tel que, si je prends un espace mesurable $X$ de mesure au moins $C(r)$ et une application $\mu : X^{(2)} \to \{0,1 \}$, alors il existe $Y \subset X$ mesurable et de mesure au moins $r$ tel que $\mu_{|Y^{(2)}}$ est constante. (Ici, $S^{(2)}$ correspond au produit $S \times S$ privé de la diagonale.)

Si nécessaire, des hypothèses peuvent être ajoutées. En particulier, peut-être faut-il que $\mu$ soit un minimum compatible avec la mesure de $X$, ou encore que $X$ ne soit pas trop exotique.

Seirios

Poirot

Je ne sais pas si ça t'aide mais il y a des versions infinies du théorème de Ramsey qui amènent à pleins de jolies notions en théorie des ensembles.