nom de points remarquables

Soit $ABC$ un triangle. Il me semble qu'il existe deux points $M$ vérifiant les égalités $AB-AC=MB-MC$, $BC-BA=MC-MA$ et $CA-CB=MA-MB$. Ont-ils un nom ?

Réponses

  • Bonjour JLT
    Les $3$ hyperboles de foyers $B$ et $C$ passant par $A$, de foyers $C$ et $A$ passant par $B$, de foyers $A$ et $B$ passant par $C$ ont bien $2$ points communs, les Centres de Soddy, mais seul le centre de Soddy intérieur est toujours sur la branche passant par $A$ de la première, ...
    Les anglo-saxons appellent aussi ce point Equal Detour Point.
    Désolé, mais comme le faisait remarquer Pappus, on ne peut plus accéder à la liste ETC de Kimberling.
    NB : Il s'agit de Frederick Soddy, Prix Nobel de Chimie $1921$.
    Cordialement. Poulbot
  • X(175), X(176)
  • Bonjour
    Sur la figure, seul le centre de Soddy intérieur vérifie les conditions de JLT.
    Par contre, si j'ai bien compris ce que dit Weisstein (voir Equal Detour Point), les $2$ centres de Soddy vérifient ces conditions dès qu'un des angles au sommet de $ABC$ est $>2\arcsin \dfrac{4}{5}$ $\left( \thickapprox 106,26^{\circ }\right) $. Cette condition devrait être celle pour que les $2$ cercles de Soddy soient tangents extérieurement aux $3$ cercles $\left( A,s-a\right) ,\left( B,s-b\right) ,\left( C,s-c\right) $ où $s$ est le demi-périmètre de $ABC$. (Un joli petit exo à proposer).
    Amicalement. Poulbot65456
  • Merci pour vos réponses. Je voulais effectivement parler des hyperboles (donc mettre des valeurs absolues à mes égalités). Sans les valeurs absolues, on obtient un et un seul point.
  • Bonsoir JLT
    "Sans les valeurs absolues, on obtient un et un seul point"
    Pas tout à fait (voir mon message précédent et la figure ci-dessous)
    Amicalement. Poulbot65468
  • Bonjour Pierre
    et merci pour la référence.
    Ainsi, Lemoine avait trouvé ces points avant notre Nobel de Chimie favori (Soddy).
    Très cordialement. Poulbot
  • Bonjour ,

    Les droites reliant les points de contacts des cercles de Soddy (intérieur et extérieur) aux points de contact du cercle inscrit , sont concourantes en deux points (un pour le cercle intérieur et un pour le cercle extérieur ) qui semblent être sur la droite de Soddy et en division harmonique avec le centre du cercle inscrit et le point de Gergonne .

    Ces deux points sont-ils référencés ?

    Cordialement
  • Bonjour fm_31 et merci
    Grâce à toi, j'ai appris pas mal de choses.
    Pour le cercle de Soddy intérieur, tes droites concourent en $X_{482}$ dans ETC.
    Cela se voit clairement sur la page Mathworld de Second Eppstein point où, de plus, Weisstein explique qu'Eppstein ne s'était pas rendu compte que ce point était déjà connu en tant que "Point d'Oldknow extérieur".
    Pour le cercle de Soddy extérieur, on tombe sur $X_{481}$. Voir First Eppstein point (Point d'Oldknow intérieur).

    En barycentriques, le centre de Soddy intérieur est $X_{175}=\left( a+\dfrac{\Delta }{s-a}:b+\dfrac{\Delta }{s-b}:c+\dfrac{\Delta }{s-c}\right) $ et $X_{482}=\left( a+2\dfrac{\Delta }{s-a}:b+2\dfrac{\Delta }{s-b}:c+2\dfrac{\Delta }{s-c}\right) $ où $s$ et $\Delta $ sont le demi-périmètre et l'aire de $ABC$.
    En remplaçant $\Delta $ par $-\Delta $, on obtient $X_{176}$ et $X_{481}$.
    Remarque : $I=\left( a:b:c\right) $ et $G_{e}=\left( \dfrac{1}{s-a}:\dfrac{1}{s-b}:\dfrac{1}{s-c}\right) $ sont le centre du cercle inscrit et le point de Gergonne.
    So $\dfrac{\overline{X_{176}G_{e}}}{\overline{X_{176}I}}=2\dfrac{\overline{X_{481}G_{e}}}{\overline{X_{481}I}}=-\dfrac{\overline{X_{175}G_{e}}}{\overline{X_{175}I}}=-2\dfrac{\overline{X_{482}G_{e}}}{\overline{X_{482}I}}=\dfrac{2s}{4R+r}$.

    En pièces jointes les articles publiés dans le Monthly par Oldknow $\left( 1996\right) $ et Eppstein $\left( 2001\right) $.

    Cordialement. Poulbot
  • Bonjour poulbot

    C'est surtout moi qui apprend plein de choses .
    Il semblerait que X481 soit sur une hyperbole équilatère A,B,C,H et X175

    Cordialement
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