Binôme

Bonjour, pouvez-vous m'éclaircir comment est déduite la factorisation ci-contre de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique qui la précède ?65396

Réponses

  • Bonjour.

    Si b est nul, ou si a=b, c'est évident. Si b est non nul et différent de a, on part de la formule en remplaçant n par n-1, ce qui donne
    $1+a+a^2+...+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}$
    on multiplie des deux côtés par a-1 puis on remplace a par $\frac a b$ et on multiplie les deux membres par $b^n$.

    Cordialement.
  • Autrement dit,

    $a^n-b^n=b^n\left(\left(\frac{a}{b}\right)^n-1\right)$

    et on peut utiliser la formule qui donne la somme des $n-1$ premiers termes d'une suite géométrique avec la raison $r=\frac{a}{b}$
  • $a^n-b^n = a^n\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n\right)$ si $a \not = 0$.
  • Merci beaucoup. :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.