Sommation des nombres premiers.

Fly7

Bonjour.
si $1+2+3+4+5...=-\frac{1}{12}$
A quoi est égal?
$2+3+5+7+11+13...=?$
Je cherche sur google j'ai pas trouvé.
Cordialement.

Chalk

A ce que tu veux, vu que si $A$ est faux, alors $A \implies B$ est vrai pour toute proposition B.

Dom

Attention, ici le $A$ n'est pas si faux que cela.
Il faut retrouver le fil récent sur les séries divergentes...
Dans un certain sens, précis, la première égalité est vraie et c'est vraie que du coup, la question est originale à mon sens.

Chalk

On peut toujours donner le sens qu'on veut à tout et n'importe quoi, c'est juste une question de définition. Quand on écrit une série sans préciser le mode de convergence ou la topologie, par défaut c'est quand même la convergence au sens de la topologie usuelle de $\mathbb{\overline{R}}$.

C'est à l'auteur de la question de poser une question claire dans le bon contexte, pas au lecteur d'interpréter les 36 façons de voir la question.

Dom

Oui, je suis d'accord ("c'est à l'auteur...").

D'ailleurs c'est à peu près la réponse de @fdp faite à @Chaurien dans ce fil :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1492270,1494832#msg-1494832

Fly7

skyffer3
exact.
L'idée est la suivante.
$\sum_{n=1}^{n}(n+1)-(2n+2^2-2)-(3n+3^3-3)-(5n+5^5-5)...=2+3+5+7+11+..+LE RESTE..$
$\sum_{n=0}^{n}(n+2)-(2n+2^2)-(3n+3^3)-(5n+5^5)...=2+3+5+7+11+...+LE RESTE...$

Je suis sur qu'il y a un reste mais Je ne sais pas encore le calculer pour une somme (arithmétique) infini.

explication du reste:

$\sum_{n=1}^{10}n=+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$
$\sum_{n=1}^{10}2n=+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20$
En soustrayant la 2de égalité de la 1re, on élimine tous les nombre pairs "ou presque Lavoisier".
$\sum_{n=1}^{10}n-\sum_{n=1}^{10}2n=1+3+5+7+9-12-14-16-18-20$
$\sum_{n=1}^{10}n-\sum_{n=1}^{10}2n=1+3+5+7+9-\sum_{n=1}^{5}10+2n$
$\sum_{n=1}^{10}n-\sum_{n=1}^{10}2n=1+3+5+7+9-\sum_{n=1}^{10}\frac{5}{2}+n$
$\sum_{n=1}^{10}n-\sum_{n=1}^{10}2n+\sum_{n=1}^{10}\frac{5}{2}+n=1+3+5+7+9$
$\sum_{n=1}^{10}\frac{5}{2}=1+3+5+7+9$
$\sum_{n=1}^{5}5=1+3+5+7+9$

Excusez moi c'est une idée pas achevé.

Par la meme ocasion chose amusante. $\sum_{n=1}^{n}2n-1=n^n$

Chalk

Tant que tu ne précises ce que veut dire une somme infinie dans ton contexte, ta question n'a pas de sens.

Cela non plus n'a aucun sens d'ailleurs :

guitard a écrit:

$\sum_{n=1}^{n}2n-1=n^n$

$n$ ne peut pas être à la fois un indice de la somme et une borne de la somme.

Fly7

$\sum_{k=1}^{k}2n-1=n^n$
Comme sa c'est mieux? j'avoue ne pas encore avoir assimiler tous les concepts.

Chalk

Comme ça c'est pas mieux, tu as changé $n$ par $k$, mais ton indice est encore la borne, et ensuite $n$ apparaît de nulle part. Ce que tu écris ne veut rien dire ! Et je te le dis déjà, même quand tu auras corrigé cela, ton égalité sera fausse.

Si c'est juste pour coller des jolis symboles sans aucun sens c'est pas la peine ...

Fly7

$\sum_{1}^{n}2n-1=n^n$
Je débute.

Maxtimax

La dernière égalité que tu as écrite évite la remarque de skyffer par une imprécision (usuelle certes), mais elle reste fausse. Ici tu sommes de $1$ à $n$ un terme constant égal à $2n-1$, cela vaut donc $n(2n-1) \neq n^n$

Chalk

Toujours aucun sens, mais continue, ça fait des jolis dessins.
Au pire on pourrait dire que ça a un sens car l'indice de la somme n'intervient pas (donc aucun intérêt d'écrire une somme), mais dans ce cas l'égalité est évidemment fausse, puisque le membre de gauche vraudrait $n(2n-1)$.

Fly7

Argl vous avez raison je me suis planté.
l 'idée était la suivante.
1=1
1+3=2+2
1+3+5=3+3+3
1+3+5+7=4+4+4+4
Etc...
Comment l’écrire correctement?
$\sum_{n=1}^{n}2n-1=n^2$

Chalk

Ah on y est, tu vois c'est mieux de le dire en Français plutôt que d'essayer d'embrouiller ça avec des symboles que tu ne maîtrises pas.

On peut écrire par exemple $\sum_{i=0}^n (2i+1) = (n+1)^2$.

Edit :

guitard a écrit:

$\sum_{n=1}^{n}2n-1=n^2$

Toujours le même problème ! Arrête d'utiliser un symbole dont tu ne comprends absolument pas la signification. Quand bien même tu tomberais juste ce serait un pur hasard. Il vaut mieux apprendre ou demander plutôt que de mettre des signes au hasard.

Fly7

A méditer.
Travailler le formalisme et se mètre dans les rang.
Merci.

Chalk

Bah oui, si tu veux te faire comprendre des autres mathématiciens, il faut utiliser leur langage commun des mathématiques. C'est évident. Parce que si j'utilise mon propre langage tout seul sans le définir (tout comme tu n'as pas définis tes sommes), alors zjzrfrf refreff rgz dzaad defezez ezfrg zfrej ezfkjfzf jzfenjf faf, ezfafafezfnafn ezfff ezfjezf f dd ed grgarga rf graeilfdvfd.

Héhéhé

Si on définit
$$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} n^{-s}, \qquad \mathrm{Re}\, s > 1,$$
alors il est bien connu que $\zeta$ se prolonge de manière unique en une fonction méromorphe sur $\C \setminus\{0\}$ et on peut calculer que $\zeta(-1) = -1/12$. De manière extrêmement abusive on a alors la série divergente
$$\zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + \cdots = -1/12.$$
On appelle cela la méthode de la régularisation zeta.

On peut être tenté de faire la même chose en posant
$$\zeta_p(s) = \sum_p p^{-s}, \qquad \mathrm{Re}\, s > 1,$$
où la somme a lieu sur tous les nombres premiers $p$. Malheureusement on ne peut pas prolonger analytiquement cette fonction pour $\mathrm{Re}\, s < 0$, ce qui empêche de donner un sens à $\zeta_p(-1)$, et donc à la série divergente $2+3+5+7+11+\cdots$

Chalk

Honnêtement Héhéhé, je ne vois pas l'intérêt de ta réponse pour guitard, qui néanmoins est intéressante. Tu parles de prolonger $\zeta$ alors que l'auteur du fil n'arrive pas à écrire correctement une somme finie.

Par ailleurs, comme je le disais, on peut toujours donner le sens qu'on veut à une expression mathématique quitte à la redéfinir, c'est pourquoi le contexte de la question est important. Car dans un contexte standard, on pourrait aussi objecter que $\sum_n 1/n$ ne converge pas.

Tant qu'on ne définit pas le contexte dans lequel on veut se placer, on peut tout raconter et personne n'aura tort.

Dom

Ha oui.

C'est dommage...on aurait voulu que ce soit un nombre plus petit que $\dfrac{-1}{12}$...

Bon...

Héhéhé

Quand on poste sur un forum, la réponse est lue par plein de monde, pas seulement l'auteur du fil. J'ai été surpris du fait qu'on ne puisse pas prolonger $\zeta_p$, je me suis dit que ca pouvait intéresser des gens qui passeraient par là.

Tout ce que j'affirme, c'est que la méthode de régularisation ne permet pas de donner une valeur à $\zeta_p(-1)$. Après que d'autres méthodes de sommation donnent un résultat, ça je n'en sais rien.

Dom

Oui, c'est aussi ce que je me suis dit.

Il faudrait appeler Euler, peut-être...;-)

Maxtimax

Sinon, toujours dans l'esprit "choses qui peuvent intéresser les gens qui lisent ce fil autres que son auteur", une méthode naturelle de "régularisation" est une méthode "axiomatique", c'est-à-dire qu'on décrète qu'une sommation doit avoir certaines propriétés, et on voit quelles sommations existent.

L'exemple que j'ai en tête est le suivant: notant $C$ l'espace vectoriel des suites à série convergente, $\Sigma: C\to \mathbb{R}$ est une forme linéaire, qui vérifie la propriété sympathique (qui semble caractéristique des sommes) suivante : si $a\in C$, alors la suite $(0,a_0,a_1,...) \in C$, et leurs images par $\Sigma$ sont les mêmes.

On peut alors s'intéresser aux sous-espaces de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ contenant $C$ et stables par l'opération "décalage et rajout de zéro" (shift) sur lesquels on peut prolonger $\Sigma$ tout en gardant la propriété d'invariance par shift, ce qui donnerait une notion intéressante de somme.

Il est trivial de vérifier qu'aucun tel espace ne contient $(n)_n$, la suite identité (et donc dans ce contexte, $\Sigma n = -\frac{1}{12}$ n'a pas de sens).
Cependant, ce qui est intéressant est la chose suivante: si on veut éliminer une certaine part d'arbitraire, on peut imposer à nos sous-espaces $H$ de n'avoir sur eux qu'une seule telle forme linéaire: c'est évidemment le cas de $C$, puisqu'on demande que cela prolonge $\Sigma$.

Pour mettre les choses au clair: on dit que $H$ (sev de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$) est admissible s'il est stable par shift. Une forme linéaire sur un sev admissible invariante par shift est appelée une supersommation. Une supersommation sur $H$ est dite propre si c'est la seule supersommation sur $H$.

Une fois ces définitions données, on a le théorème suivant (si je ne me suis pas trompé), qui est assez intéressant : Il existe un unique sous-espace admissible maximal sur lequel il existe une supersommation propre, et il contient tout sous-espace admissible sur lequel il y a une supersommation propre.

En d'autres termes ce théorème dit: "Si on s'est mis d'accord sur ma définition de sommation, alors cette notion est absolue, et il y a des suites qui sont 'sommables' dans l'absolu, et d'autres non. La somme de ces suites ne dépend pas des espaces choisis et est elle-même 'absolue'".

Comme je l'ai fait remarquer, ici $(n)$ n'est pas 'sommable', mais a priori rien n'interdit que $(p_n)$ le soit, ce serait une question intéressante

Fly7

l'idée est d'utiliser le crible d'Ératosthène.
$\sum_{i=0}^{n}i+2=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+...$
$-\sum_{i=0}^{n}2i+2^2=-4-6-8-10-12-14-16...$
$-\sum_{i=0}^{n}3i+3^2=-9-12-15-18-...$
etc...
$\sum_{i=1}^{n}(i+1)-(2i+2^2-2)-(3i+3^2-3)-(5i+5^2-5)...=2+3+5+7+11+..-LE RESTE..$
$\sum_{i=0}^{n}(i+2)-(2i+2^2)-(3i+3^2)-(5i+5^2)...=2+3+5+7+11+...-LE RESTE...$
$\sum_{i=0}^{n}(i+2-\sum_{p=2}^{n}pi+p^2)=(\sum_{p=2}^{n}p)-LE RESTE...$
$\sum_{i=0}^{n}(\frac{1}{i+2}-\sum_{p=2}^{n}\frac{1}{pi+p^2})=(\sum_{p=2}^{n}\frac{1}{p})-\frac{1}{LE RESTE...}$
Je suis sur qu'il y a un reste mais Je ne sais pas encore le calculer pour une somme (arithmétique) infini.

explication du reste avec une somme (arithmétique) fini:
$\sum_{i=1}^{10}i=+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$
$\sum_{i=1}^{10}2i=+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20$
En soustrayant la 2de égalité de la 1re, on élimine tous les nombre pairs "ou presque Lavoisier".
$\sum_{i=1}^{10}i-\sum_{i=1}^{10}2i=1+3+5+7+9-12-14-16-18-20$
$\sum_{i=1}^{10}i-\sum_{i=1}^{10}2i=1+3+5+7+9-\sum_{i=1}^{5}10+2i$
$\sum_{i=1}^{10}i-\sum_{i=1}^{10}2i=1+3+5+7+9-\sum_{i=1}^{10}\frac{5}{2}+i$
$\sum_{i=1}^{10}i-\sum_{i=1}^{10}2i+\sum_{i=1}^{10}\frac{5}{2}+i=1+3+5+7+9$
$\sum_{i=1}^{10}\frac{5}{2}=1+3+5+7+9$
$\sum_{i=1}^{5}5=1+3+5+7+9$
Excusez moi c'est une idée pas achevé.
Quelques pistes sont visible pour trouver le reste.
Sa va pas être facile.
Par la même occasion chose amusante. $\sum_{i=0}^{n}2i+1=(n+1)^2$
$\sum_{i=1}^{n}2i-1=n^2$

Shah d'Ock Anonyme

Héhéhé: effectivement ton résultat m'étonne. Tu sais quel est le plus grand bidule sur lequel on puisse prolonger $\zeta_p$?

Shah d'Ock Anonyme

En fait, sauf grossière erreur de ma part, on a pour $|\zeta_p(s)|<1$ (ce qui arrive quand $|Re(s)|$ est suffisament grand),
$\frac{1}{1-\zeta_p(s)}=\sum_ {n=0}^\infty \zeta_p^n(s)=\zeta(s)$ ce qui donne un prolongement analytique à $\zeta(s) \neq 1$. Non?

Maxtimax

$\zeta(s) \neq 0$ non ?

Poirot

Je ne suis pas certain que $\sum_ {n=0}^\infty \zeta_p^n(s)=\zeta(s)$, il y a des répétitions dans $\zeta_p^2(s)$ par exemple : $$\zeta_p^2(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^n p_k^{-s} p_{n-k}^{-s},$$ on a deux fois $p_1^{-s}p_2^{-s}$ qui apparaissent pour $n=3$.

Fin de partie

Avec la formule du produit d'Euler on peut faire des calculs fantaisistes qui permettent d'exprimer le logarithme de $\zeta(-1)$ en fonction de somme pondérées des puissances de tous les nombres premiers.

Poirot

On a facilement $\log \zeta(s) = \zeta_p(s) + O \left(\frac{1}{s-1}\right)$ pour $\Re(s) > 1$, est-ce utile ?

Shah d'Ock Anonyme

Max: oui tu as raison.
Poirot: tu as raison également. Plus généralement, $p_1...p_n$ doit apparaître quelque chose comme $n!$ fois (quand les $p_i$ sont deux à deux distints sinon c'est plus compliqué) dans $\zeta_p^n$. Ouf, les maths sont cohérentes!

Fin de partie

Je pensais à un truc vraiment fantaisiste.

$\displaystyle \zeta(s)=\prod_{\text{p premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}$

On fait $s=1$,

et on prend le logarithme des deux membres de l'égalité et on développe en série les logarithmes dans le membre de droite.

cela doit faire,

$\displaystyle \log(\zeta(1))=\sum_{\text{p premier}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p^n}{n}$

Ou si on préfère,

$\displaystyle \log(\zeta(1))=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\sum_{\text{p premier}} p^n\right)$

Shah d'Ock Anonyme

Raté puisque $\zeta$ ne se prolonge précisément pas en $s=1$...

Fin de partie

Merci, mais je le savais déjà.
J'ai bien averti que ma formule était fantaisiste.

Il y a peut-être un moyen de la bricoler pour ne plus avoir des infinis dans les deux membres.

Fin de partie

On a bien, par contre, si je ne m'abuse,

$\displaystyle \log(\zeta(2))=2\sum_{\text{n pair}>0} \frac{1}{n}\left(\sum_{\text{p premier}} p^{-n}\right)$

Fly77

$S=1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}$
$A=2S-2=4+6+8+...$
$B=3S-3=6+9+12+...$
$C=5S-5=10+15+20+...$
$D=...$
$E$

$S-1-A-B-C-D-...=2+3+5+7+11+13+17+...=Z$
$-\frac{13}{12}+\frac{26}{12}+\frac{39}{12}+\frac{65}{12}+...=Z$
${\scriptsize\frac{13}{12}}(-1+2+3+5+7+11+...)=Z$
${\scriptsize\frac{13}{12}}(-1+Z)=Z$
${\scriptsize\frac{13}{12}}Z-Z=\frac{13}{12}$
$Z(\frac{13}{12}-1)=\frac{13}{12}$
$Z\frac{1}{12}=\frac{13}{12}$
$Z=13$

gerard0

7 ans plus tard, toujours le même gloubi-boulga pseudo-mathématique.

Lamentable.

bisam

C'est dommage que tu aies arrêté tes pointillés un cran trop tôt...
Tu aurais pu remarquer que le nombre $10$ apparaît dans ta somme notée $A$, mais aussi dans ta somme notée $C$, tout comme $15$ apparaît dans $B$ mais aussi dans $C$.
Par conséquent, ton égalité $S-1-A-B-C-D-\dots=Z$ est fausse.

Bien sûr, je ne parle même pas des problèmes soulevés par l'existence éventuelle de ces sommes : je me suis contenté de faire des additions et des soustractions comme toi.

PS : C'est amusant que $7$ ans après le premier post, @Fly7 soit devenu @Fly77. Peut-être rencontrera-t-on @Fly777 en 2031 ?

Fly77

Merci bisam pour la remarque, je suis en train d'y travailler.

Naïvement, j'ai pensé qu'en trouvant plusieurs valeurs en bleu de $f(s)=\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i^s}}{\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{A_i^s}}$, avec P nombres premiers et A entiers naturels, et en prolongeant la fonction f(s) en rouge, il serait possible de trouver la valeur pour s=-1 sur l'axe des abscisses et ensuite de multiplier cette valeur par -1/12 pour obtenir $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{p_i^{-1}}$. Je comprends que cela semble farfelu.

Malheureusement, la fonction générée par Python3 n'est pas exacte. Je n'ai pas d'idée sur la manière de trouver cette fonction.

Le terminal me renvoie : La valeur de f(-1) est : 0.8245047283873466

Mais je suis sûr que ce n'est pas la bonne valeur.

J'ai dis a gpt que f(1) tend vers 0 mais je n'en suis pas certain. ha non sa diverge.

Merci à GPT pour le programme.

import sympy

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from numpy.polynomial.polynomial import Polynomial

def somme_inverses_premiers_puissance(n, s):

    somme = 0

    # Générer les n premiers nombres premiers

    premiers = list(sympy.primerange(1, sympy.prime(n + 1)))

    

    # Calculer la somme des inverses de ces nombres premiers élevés à la puissance s

    for i in range(n):

        somme += 1 / (premiers[i] ** s)

    

    return somme

def somme_inverses_entiers_puissance(n, s):

    somme = 0

    

    # Calculer la somme des inverses des entiers de 1 à n élevés à la puissance s

    for i in range(1, n + 1):

        somme += 1 / (i ** s)

    

    return somme

# Demander les valeurs de n et d à l'utilisateur

n = int(input("Entrez le nombre de termes n: "))

d = int(input("Entrez la valeur maximale de la puissance d: "))

# Calculer les résultats pour chaque valeur de s de 2 à d

s_values = range(2, d + 1)

rapport_values = []

for s in s_values:

    somme_premiers = somme_inverses_premiers_puissance(n, s)

    somme_entiers = somme_inverses_entiers_puissance(n, s)

    rapport = somme_premiers / somme_entiers

    rapport_values.append(rapport)

# Ajuster une fonction polynomiale aux points obtenus

coefficients = np.polyfit(s_values, rapport_values, deg=4)  # Ajustement polynomial de degré 4

poly = np.poly1d(coefficients)

# Afficher la fonction ajustée

print("La fonction ajustée est:", poly)

# Trouver la valeur pour f(-1)

f_neg_1 = poly(-1)

print(f"La valeur de f(-1) est: {f_neg_1}")

# Visualiser les points et la fonction ajustée

plt.scatter(s_values, rapport_values, color='blue', label='Points calculés')

s_fit = np.linspace(2, d, 100)

rapport_fit = poly(s_fit)

plt.plot(s_fit, rapport_fit, color='red', label='Fonction ajustée')

plt.xlabel('s')

plt.ylabel('Rapport')

plt.legend()

plt.title('Ajustement de la fonction')

plt.show()

bisam

Malheureusement, il n'y a aucun espoir d'aboutir par cette méthode car la fonction $f$ n'est pas définie pour $s\leq 1$.

La fonction $\zeta$ est obtenue par prolongement de la fonction $\displaystyle s\mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ à des valeurs autres que les réels strictement plus grands que $1$, mais les expressions que l'on peut en trouver pour ces autres valeurs n'ont rien à voir avec cette somme.

Il va falloir que tu te renseignes BEAUCOUP plus avant d'espérer trouver quelque chose dans cette direction.

Fly77

thomas@GUITARD:~$ python3 '/home/thomas/Documents/gg2.py' 

Entrez le nombre de termes n: 100000

Entrez la valeur maximale de la puissance d: 20

Paramètres de la fonction ajustée (a, b, c, d, e): [ 1.93530769e-05 -1.04106508e-03  2.02140801e-02 -1.67056521e-01

  4.93960734e-01]

La valeur de f(-1) est: 0.6822917529170025

Fly77

Je n'ai pas encore vérifié l'égalité. J'espère ne pas avoir commis d'erreur et que ChatGPT pourra calculer la partie convergente, car les bornes supérieures et inférieures ne sont pas très conventionnelles.

$ P_{(k)}=(2, 3, 5, 7, 11, ...) $ avec $ P_{(1)}=2 $
$ \forall X,\ \prod^0_{a=0}X=1 $
$ \forall X,\ \sum^0_{a=0}X=0 $

$$ \lim_{c_{[1]} \to +\infty} \sum_{k=1}^{c_{[1]}} \frac{1}{P^s_{(k)}}= \zeta(s)-1+\sum_{a=1}^{c_{[1]}} (\prod_{b=1}^{a} \sum_{c_{[b+1]}=1}^{c_{[b]}} - \frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]+a-b})}}) \times ( \zeta(s)-\sum_{l=0}^{ \lceil\frac{1}{P^{s}_{(a)}} \times (\prod_{b=0}^{a-1} \sum_{c_{[b+1]}=1}^{c_{[b]}} \frac{1}{P^{s+2}_{(c_{[b+1]+a-b})}})-1 \rceil} \frac{1}{l^s} )$$

Fly77

Ce n'est pas bon, le programme donne 0,4441479 pour s=2 alors que le bon résultat devrait être 0,452247.

Enter c_{[1]}: 130

Enter s: 2

The result of the equation for c_[1]=130 and s=2.0 is: 0.44414792884686958954470523996910313079651572389177

Entrez le nombre de termes n: 1000000

Entrez la puissance s: 2

La somme des 1000000 premiers inverses des nombres premiers à la puissance 2 est: Entrez le nombre de termes n: 1000000

Entrez la puissance s: 2

La somme des 1000000 premiers inverses des nombres premiers à la puissance 2 est: 0.45224741635172233

41635172233

from mpmath import mp, zeta, ceil

import sympy

# Définir la précision à 50 décimales

mp.dps = 50

def prime(n):

    """ Returns the n-th prime number (1-indexed). """

    primes = list(sympy.primerange(1, 10**6))

    return primes[n-1]

def product(iterable):

    """Calculates the product of elements in an iterable."""

    result = 1

    for x in iterable:

        result *= x

    return result

def calculate_term(c, s):

    """ Calculates the complex term based on the input c and s. """

    primes = [prime(i) for i in range(1, c+2)]

    result = zeta(s) - 1

    

    for a in range(1, c+1):

        product_value = 1

        for b in range(1, a+1):

            inner_sum = sum(-1 / primes[c_prime-1]**s for c_prime in range(1, c+2))

            product_value *= inner_sum

        

        zeta_term = zeta(s) - sum(1 / l**s for l in range(1, int(ceil(1 / primes[a-1]**s * product([1 / primes[b-1]**(s+2) for b in range(1, a)])) + 1)))

        result += product_value * zeta_term

    

    return result

def main():

    c_1 = int(input("Enter c_{[1]}: "))

    s = float(input("Enter s: "))

    result = calculate_term(c_1, s)

    print(f"The result of the equation for c_{[1]}={c_1} and s={s} is: {result}")

if __name__ == "__main__":

    main()

Fly77

$$ \lim_{c_{[1]} \to +\infty} \sum_{k=1}^{c_{[1]}} \frac{1}{P^s_{(k)}}= \zeta(s)-1+\sum_{a=1}^{c_{[1]}} (\prod_{b=1}^{a} \sum_{c_{[b+1]}=1}^{c_{[b]}} - \frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]+a-b})}}) \times ( \zeta(s)-\sum_{l=0}^{ \lceil P_{(a)} \times (\prod_{b=0}^{a-1} \sum_{c_{[b+1]}=1}^{c_{[b]}} \frac{1}{P_{(c_{[b+1]+a-b})}})-1 \rceil} \frac{1}{l^s} )$$ modification de l'erreur. Je vérifierai vendredi.

Fly77

Je ne trouve pas où j'ai fait l'erreur. Je chercherai plus tard.

PS : Pour comprendre, il est plus facile de raisonner avec des entiers naturels avec s = -1.

Ma formule est une espèce de crible.

Comme l'a fait remarquer Bisam, lorsque l'on crible les multiples de 2 puis de 3, on crible deux fois les multiples de 2 fois 3. Pour cela, la formule en tient compte.

Puisque pour s = -1 le résultat diverge, je généralise avec s pour voir si mon égalité est bonne pour des valeurs de s convergentes. Malheureusement, j'ai dû faire une erreur de raisonnement quelque part car le résultat ne correspond pas aux attentes.

Example: Pour $c_{[1]}=4$ et $s=2$

$$\zeta(2) - 1+\left( -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 2 \times 1 - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{3^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 3 \times 1 - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{3^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 3 \times 1 \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{5^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 5 \times 1 - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{3^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 5 \times 1 \times \frac{1}{3} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 5 \times 1 \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{3^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 5 \times 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{5^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{5} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{3^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{3} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{3^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{3^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)+\left( -\frac{1}{7^2} \times -\frac{1}{5^2} \times -\frac{1}{3^2} \times -\frac{1}{2^2} \right) \left( \zeta(2) - \sum_{l=0}^{\left\lceil 7 \times 1 \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - 1 \right\rceil} \frac{1}{l^2} \right)$$

thomas@GUITARD:~$ python3 '/home/thomas/Documents/tt/1p.py' 

Entrez le nombre de termes n: 20

Entrez la puissance s: 2

La somme des 20 premiers inverses des nombres premiers à la puissance 2 est: 0.44970321820868586

thomas@GUITARD:~$ python3 '/home/thomas/Documents/1a.py' 

Enter c_{[1]}: 20

Enter s: 2

The result of the equation for c_[1]=20 and s=2.0 is: 0.53575357651123873826709832873566838747755754869927

from mpmath import mp, zeta, ceil

import sympy

# Définir la précision à 50 décimales

mp.dps = 50

def prime(n):

    """ Returns the n-th prime number (1-indexed). """

    primes = list(sympy.primerange(1, 10**6))

    return primes[n-1]

def calculate_term(c, s):

    """ Calculates the complex term based on the input c and s. """

    primes = [prime(i) for i in range(1, c + 2)]

    result = zeta(s) - 1

    for a in range(1, c + 1):

        product_term = 1

        for b in range(1, a + 1):

            inner_sum = sum(-1 / primes[c_prime - 1]**s for c_prime in range(1, c + 2))

            product_term *= inner_sum

        inner_product = 1

        for b in range(a):

            inner_product *= sum(1 / primes[c_prime - 1] for c_prime in range(1, c + 2))

        

        limit = int(ceil(primes[a - 1] * inner_product - 1))

        if limit < 1:

            limit = 1

        sum_term = sum(1 / l**s for l in range(1, limit + 1))

        zeta_term = zeta(s) - sum_term

        result += product_term * zeta_term

    return result

def main():

    c_1 = int(input("Enter c_{[1]}: "))

    s = float(input("Enter s: "))

    result = calculate_term(c_1, s)

    print(f"The result of the equation for c_{[1]}={c_1} and s={s} is: {result}")

if __name__ == "__main__":

    main()

Je pense avoir une vague idée du problème.
Pour cribler les nombres inférieurs à 2×3×5×7, on a les multiples de 11 qui viennent nous casser les oreilles, car la primorielle devient rapidement plus grande que les multiples de premiers à partir de la primorielle de 7.
Je crains de ne pas avoir d'astuce à ce problème que j'avais déjà rencontré.
Le probléme viens de l'excès de confiance que je donne a chat gpt pour faire les programmes python.
Je vais devoir arriver a le mater.

Fly77

Le programme en Python3 calcule $$\zeta_p(s)$$ en criblant $$\zeta_{(s)}$$.
Le programme converge pour s réels supérieurs à 1.
Et diverge pour $$\zeta_p(-1)$$ bien que $$\zeta_p(s)$$ soit écrit en fonction de $$\zeta_{(s)}$$ qui converge pour $$\zeta_{(-1)}=-\frac{1}{12}$$

import itertools
import sympy as sp
import math

def get_first_primes(n):
    primes = []
    candidate = 2
    while len(primes) < n:
        is_prime = True
        for prime in primes:
            if candidate % prime == 0:
                is_prime = False
                break
        if is_prime:
            primes.append(candidate)
        candidate += 1
    return primes

def generate_combinations(primes, k):
    return list(itertools.combinations(primes, k))

def sum_of_inverses(n, s):
    return sum(1 / (k ** s) for k in range(1, n + 1))

def zeta_function(s):
    return sp.zeta(s)

def main():
    # Demande à l'utilisateur de saisir le nombre de premiers nombres premiers
    p = int(input("Entrez le nombre de premiers nombres premiers à considérer : "))
    
    # Obtenir les premiers nombres premiers
    primes = get_first_primes(p)
    print(f"Les {p} premiers nombres premiers sont : {primes}")
    
    # Demande à l'utilisateur de saisir la valeur de s pour la fonction zêta
    s = float(input("Entrez la valeur de s pour la fonction zêta : "))
    
    # Calculer la fonction zêta de s
    zeta_s = zeta_function(s)
    print(f"La valeur de zêta({s}) est : {zeta_s.evalf():.12f}")
    
    total_sum_results = 0
    
    # Afficher les résultats pour toutes les combinaisons de 1 à p éléments
    for k in range(1, p + 1):
        print(f"\nCombinaisons de {k} éléments parmi {primes} :")
        combinations = generate_combinations(primes, k)
        for comb in combinations:
            if k == 1:
                n = math.ceil(comb[0]) - 1
            elif k == 2:
                n = math.ceil(max(comb) / min(comb)) - 1
            elif k == 3:
                n = math.ceil(max(comb) / (sorted(comb)[1] * min(comb))) - 1
            else:
                n = 0
            
            if n < 1:
                n = 0  # Assurer que n est au moins 0 pour éviter les erreurs de division par zéro
            
            # Calculer la somme des inverses jusqu'à ce n avec k à la puissance s
            sum_inv = sum_of_inverses(n, s)
            
            # Calculer la somme totale
            total_sum = zeta_s - sum_inv
            
            product_inv = 1
            for num in comb:
                product_inv *= (-1 / (num ** s))
            result = product_inv * total_sum
            total_sum_results += result
            print(f"Combinaison {comb} : Produit des inverses = {product_inv:.12f}, Résultat final = {result:.12f}")
    
    # Calculer la somme finale
    final_result = total_sum_results + zeta_s - 1
    print(f"\nSomme finale de tous les résultats plus zêta({s}) - 1 : {final_result.evalf():.12f}")

if __name__ == "__main__":
    main()