Pick sur un réseau non carré
Bonjour à tous :-D
En cherchant un exercice de construction sur un réseau de triangles équilatéraux je suis tombé sur cette formule : $A=F+2I-2$ , qui fait penser à celle d'Euler ou de Pick ( $F$ est le nombre de points sur la frontière , $I$ le nombre de points à l'intérieur et $A$ l'aire de la figure en nombre de triangles ) .
Sur l'exemple $A=31$ , $I=5$ et $F=23$ .
Un résultat aussi simple est forcément connu mais je n'arrive pas à le prouver sans multiplier les cas . Existe-t-il des formules semblables pour d'autres pavages ?
Merci d'avance pour vos réponses et bonnes vacances à ceux qui ont la chance d'y être .
Domi
En cherchant un exercice de construction sur un réseau de triangles équilatéraux je suis tombé sur cette formule : $A=F+2I-2$ , qui fait penser à celle d'Euler ou de Pick ( $F$ est le nombre de points sur la frontière , $I$ le nombre de points à l'intérieur et $A$ l'aire de la figure en nombre de triangles ) .
Sur l'exemple $A=31$ , $I=5$ et $F=23$ .
Un résultat aussi simple est forcément connu mais je n'arrive pas à le prouver sans multiplier les cas . Existe-t-il des formules semblables pour d'autres pavages ?
Merci d'avance pour vos réponses et bonnes vacances à ceux qui ont la chance d'y être .
Domi
Réponses
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À une transformation affine près, c'est la formule de Pick usuelle, non ?
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Sûrement Siméon , mais j'ai du mal à voir la transformation .
Domi -
Une transvection, je dirais.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Un carré du réseau devient un losange formé par deux triangles, ce qui explique le facteur 2 par rapport à la formule de Pick.
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Ah oui , c'est très simple et très visuel ! On remplace les lignes horizontales par des élastiques et on déforme le système articulé pour en faire un réseau carré . La formule de Pick donne le nombre de carrés et donc de triangles .
Merci à tous les trois .
Domi
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