Médiane et symédiane

Bonjour $$\frac{m-s}{m+s}=\frac{(b-c)^2}{(b+c)^2}$$
Je cherche sans y parvenir à démontrer cette expression singulière reliant médiane et symédiane issues du sommet $A $.
J'ai pensé utiliser le théorème de la médiane (Apollonius) et le théorème de Stewart appliqué à la symédiane mais ça ne me mène pas loin.
Je suis preneur de toutes pistes.
Cordialement.65318

Réponses

  • Bonsoir
    Il me semble qu'il vaut mieux évaluer le rapport $\frac ms$ en fonction de $b$ et $c$.
    Sur la figure, je vois un triangle de sommet $A$ avec les côtés $m$ et $s$ et en pointillé la bissectrice intérieure issue de $A$.
    Il me semble tentant d'appliquer le théorème donnant le rapport de deux côtés adjacents en fonction du rapport des segments déterminés par la bissectrice sur le côté opposé.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Rembrandt, triste hôpital tout rempli de murmures,
    Et d'un grand crucifix décoré seulement,
    Où la prière en pleurs s'exhale des ordures,
    Et d'un rayon d'hiver traversé brusquement;
  • Bonsoir
    Avec les coordonnées barycentriques.
    Le triangle de référence :
    $A(1 :0 :0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 : 1).$
    Le point de Lemoine :
    $K(a^2 : b^2 : c^2).$
    La longueur s :
    $s=bc\dfrac{\sqrt{-a^2 + 2 b^2 + 2 c^2}}{b^2 + c^2}.$
    La longueur m :
    $m=\dfrac{1}{2}\sqrt{-a^2 + 2 b^2 + 2 c^2}.$
    Ensuite, on a :
    $\dfrac{m - s}{m + s} - \dfrac{(b - c)^2}{(b + c)^2}=0.$
  • Merci Bouzar mais ta méthode relève du marteau pilon pour écraser une mouche!
    Pour évaluer le rapport $\frac sm$, on a pas besoin de calculer les longueurs $s$ et $m$.
    Appelons $A'$ le milieu de $BC$, $I$ le pied de la bissectrice intérieure et $K$ le pied de la symédiane issue de $A$.
    Avec mon idée, $\dfrac s m=-\dfrac{IK}{IA'}$
    Comme je travaille avec mon iPhone dans un lieu murmurant, je laisse tomber les barres horizontales des segments orientés mais elles sont bien là avec un peu d'imagination!
    Tout revient donc à calculer un rapport algébrique sur la droite $BC$.
    Or on connaît les coordonnées barycentriques des points $A'$, $I$, $K$ dans le repère affine $(B,C)$ de la droite $BC$:
    $A'(1:1)$, $I(b:c)$, $K(b^2:c^2)$.
    C'est alors un jeu de grands enfants que d'évaluer le rapport demandé!
    Si on a quelques souvenirs de la défunte géométrie projective, on peut se rappeler que l'isogonalité induit sur la droite $BC$ une involution dont $I$ est un point fixe et $(B,C)$ une paire de points homologues.
    On a donc l'égalité des birapports:
    $(B,I,A',K)=(C,I,K,A')$
    On en déduit:
    $\Big(\dfrac{IK}{IA'}\Big)^2=\dfrac{BK.CK}{BA'.CA'}$
    On
    Au bout d'un temps fini inférieur à la minute, on trouve que cela vaut: $\dfrac{4b^2c^2}{(b^2+c^2)^2}$
    et c'est terminé
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour
    Regardons à quelle vitesse les choses se font si on connaît en géométrie affine un chouïa de plus que les sempiternels théorèmes de Ménélaüs et de Céva.
    $A'=\dfrac{B+C}2$
    $I=\dfrac{bB+cC}{b+c}$
    $K=\dfrac{b^2B+c^2C}{b^2+c^2}$
    Les deux dernières lignes sont les seules difficultés de cet exercice.
    Il faut savoir, tout comme Bouzar, que les coordonnées barycentriques du centre du cercle inscrit sont $(a:b:c)$ et celles du point de Lemoine $(a^2:b^2:c^2)$.
    On en déduit:
    $K-I=\dfrac{bc(b-c)}{(b+c)(b^2+c^2)}(B-C)$
    $A'-I=\dfrac{c-b}{2(b+c)}(B-C)$
    Et enfin au bout du bout et à la fin des fins:
    $$\dfrac{K-I}{A'-I}=-\dfrac{2bc}{b^2+c^2}$$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
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