Polynôme de matrice

Balix

Bonjour
Je rame sur le sujet 1 d'agreg interne 2017. Sujet

A la question 18, je me ramène à vouloir prouver ce résultat :

A est une matrice carré complexe inversible, dont aucune valeur propre n'appartient à $\mathbb{R}^{-}$. P un polynôme tel que la matrice P(A) est inversible.

Je voudrais montrer que A.P(A)² + $I_n$ est inversible.

1) Est_ ce que c'est possible ?
2) Sinon, est-ce que quelqu'un a la solution à cette question ?

Foys

Pour un contre-exemple, on se place en dimension $1$ et on prend $A=\exp (i\frac{2\pi}{3})$, et $P(X)=X$.