tMM nulle => M nulle

Balix

M est une matrice carrée , tM est la transposée( je n'arrive pas à mettre en exposant)

Quelqu'un connait une preuve de ça ?

J'y arrive en supposant M non-nulle , alors l'un des vecteurs de la base canonique a une image non nulle par M ,M($e_1$) par exemple, et en calculant tMM($e_1$) = 0 j'arrive à une contradiction.

Mais ça ne me semble pas très élégant, je sens qu'on doit pouvoir passer sans le calcul des coordonnées, mais je ne vois pas.

Ryuk

Bonsoir,

Regarde le terme d'indice $(i,i)$ de ton produit, c'est une somme nulle de carrés et ta matrice étant à coefficients réels....

Maxtimax

Pour une matrice réelle, tu as l'argument suivant : si $M^TM =0$ (je note $^T$ la transposée ici), alors pour tout vecteur colonne $X$, on a $X^T M^T MX =0$ et donc $(MX)^TMX = 0$. Or il est connu que sur les vecteurs colonnes, $X,Y\to X^TY$ est un produit scalaire, donc $(MX)^TMX = 0\implies MX=0$. Pour tout $X$, $MX=0$ donc $M=0$.
C'est moins calculatoire à première vue mais les calculs sont cachés dans la preuve qu'il s'agit bien d'un produit scalaire

Balix

Oui, ça revient au même sans le détour que j'ai fait; sur la diagonale de tMM on a les carrés des normes 2 des vecteurs lignes de la matrice M , donc s'ils sont tous nuls.

En fait c'est mieux non, ça dit que si la trace de tMM est nulle alors M est nulle, ou bien je me fourvoie quelque part ?

YvesM

Bonjour,

La matrice $M$ n'est pas forcément réelle.

Soit $M$ une matrice carrée de taille $n \geq 1.$

Les éléments de la matrice $M^TM$ sont $(M^TM)_{u,v} = \sum_w M_{w,u}M_{w,v}$ et sa trace est $Tr(M^TM) = \sum_{i,w} M_{w,i}^2$ : ce n'est pas le module mais seulement le carré. Ainsi la matrice $\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&i \end{pmatrix}$ est un contrexemple de $Tr(M^TM) =0 \implies M=0.$

Pour la démonstration, soit $X$ un vecteur quelconque, on a $X^TM^TMX = ||MX||^2 = 0 \implies MX=0.$ On choisit pour $X$ les vecteurs de base : la matrice est l'image des vecteurs de base par $M$, comme cette image est nulle pour tous les vecteurs de base, alors la matrice $M$ est nulle.

On peut aussi annuler tous les coefficients de la matrice $M$ un par un en calculant $E_{a,b} M^T M E_{c,d}$ où les matrices $E_{u,v}$ n'ont que des éléments nuls sauf celui de la ligne $u$ et de la colonne $v$ qui vaut $1.$

Chaurien

Plus généralement, soit $A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
Si $A^{\mathbf{T}}AX=0$ pour $X\in \mathbb{R}^{n}=\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, alors $X^{\mathbf{T}}A^{\mathbf{T}}AX=0$, soit : $ \left\Vert AX\right\Vert ^{2}=0$, ou : $AX=0$.
Réciproquement, évidemment, si $AX=0$ alors $A^{\mathbf{T}}AX=0$.
Ceci signifie que les matrices $A$ et $A^{\mathbf{T}}A$ ont même noyau, donc même rang. En particulier, si l'une est nulle, alors l'autre aussi.
C'est la preuve que la matrice de Gram d'une famille de vecteurs a le même rang que cette famille.

Stricto sensu, ceci est spécifique aux matrices réelles, comme il a été dit.

On peut étendre ces résultats aux matrices complexes, dans le cadre des espaces hermitiens, en remplaçant la matrice transposée par la matrice adjointe ou transconjuguée $A^{\ast }=\overline{A}^{\mathbf{T}}$.

Bonne journée, vivement le réchauffement.
Fr. Ch.

Balix

Merci des réponses. La matrice de départ est réelle, j'avais oublié de préciser.

Jhon

$M^TM=0 \implies Tr(M^TM)=0 \implies <M,M>=0 \implies M=0 $
Bonne soirée !

Poirot

@Jhon : ta solution ne fait que déguiser la preuve qui demande de montrer qu'on a bien affaire à un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$ ;-)

Jhon

@Poirot sans passer par le produit scalaire , passe par la trace et voilà c'est terminé :-)

Poirot

Tu peux préciser ta réponse ? Ton dernier message utilise explicitement qu'il s'agit d'un produit scalaire.

Balix

Oui ça tourne en rond, la positivité et la définition de Tr(MtM) sont nécessaires pour prouver que l'on a un produit scalaire.
Donc pour résumer, on doit passer par le calcul des coefficients de la diagonale de MtM , ou alors se servir de la fbs associée à MtM (mais comment que celle ci définie positive sans passer par le caclul des coefficients de la diagonale ?)