Limite d'une suite d'intégrales

un_kiwi

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour le calcul d'une limite. Etant donné une fonction borélienne $f : \R_+ \to \R_+$, je cherche à calculer la limite :

$\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n \int_0^1 \frac{f(nt)}{\sqrt{1+t}} dt $.

J'ai donc pensé au théorème de convergence dominée, mais avant j'effectue le changement de variable $x=nt$. J'obtiens ainsi, tous calculs fait, que : $$
n \int_0^1 \frac{f(nt)}{\sqrt{1+t}} dt = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1+\frac{x}{n}}} 1_{[0,n]}(x) dx.
$$ 1. Quel que soit $x \in \R_+$, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1+\frac{x}{n}}} 1_{[0,n]}(x) =f(x)$ et,
2. Quel que soit $n \in \N^*$, $\displaystyle \left| \frac{f(x)}{\sqrt{1+\frac{x}{n}}} 1_{[0,n]}(x) \right| \leqslant f(x)$.
Donc j'en déduis que si $f$ est intégrable sur $\R_+$, alors la limite recherchée vaut $\int_0^{+\infty} f(x)dx$, sinon elle vaut $+\infty$, mais ça me paraît bizarre, je ne suis jamais tombé sur ce cas de figure...

Merci d'avance pour votre aide :-)

Said Fubini

que donne le théorème de convergence monotone?

un_kiwi

D'accord, mais le problème est que je n'ai aucune hypothèse de monotonie sur $f$.
Quelle formulation de mon intégrale devrais-je utiliser ? Celle donnée ou celle obtenue après avoir effectué le changement de variable ?

Merci encore !

remarque

A quoi servirait la monotonie ?

un_kiwi

On a besoin d'une hypothèse de monotonie dans le théorème de convergence monotone, c'est pour ça.

gebrane

$(f_n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives ( où $f_n(x)=\displaystyle \frac{f(x)}{\sqrt{1+\frac{x}{n}}} 1_{[0,n]}(x) $) donc d'apres le theoreme de convergence monotone ...

un_kiwi

Ok, donc $f_n : \R_+ \to \R_+$ est une suite croissante de fonctions boréliennes donc :

$\lim_{\int_0^{+\infty} f_n(x)\ dx} = \int_0^{+\infty} \lim_{f_n(x)}\ dx = \int_0^{+\infty} f(x)\ dx $.

remarque

@un_kiwi : tu parlais de monotonie sur $f$, pas sur la suite. Sinon gebrane0 a raison.

un_kiwi

Oui, parce que comme l'a défini gebrane0, $f_n(x) $ s'exprime en fonction de $f(x)$ et j'avais confondu les rôles de $x$ et $n$...

Merci à vous !

gebrane

Bonjour le Kiwi
Ton exercice à des applications intéressantes
Une question pour toi
Montre que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} n \int_0^{\frac 1n} \frac 1 {\sqrt{1+t}} dt=1$ de deux façons différentes ( directement par calcul intégrale, puis en utilisant ton exercice)