Euclide, nombres de Lucas et de Fibonacci

donnet

Bonsoir ,

Voici une nouvelle petite curiosité concernant une relation entre l'algorithme d'Euclide appliqué dans sa forme le plus théorique à
deux nombres premiers entre eux et les nombres de Lucas et Fibonacci.

Pour commencer par les choses bien connues,
Si on considère deux nombres premiers U_n et U_n-1 entre eux et si on applique l'algorithme d'Euclide on obtient des divisions successives de la forme:
U_i=U_i-1*H_i-1+U_i-2 pour la ligne i-1 de l'algorithme
jusqu'à U₃=U₂*H₂+U₁
avec U₁ dernier reste non nul égal à 1.
Chaque couple U_i, U_i-1 est constitué de deux nombres premiers entre eux et leurs coefficients de BEZOUT k_i et k_i-1 associés sont également premiers entre eux .
Les U_i et k_i peuvent être exprimés uniquement en fonction des H_i (i variant de 1 à i).
Ainsi on aura par exemple
U₆=[((1+H₁*H₂)*H₃+H₁)*H₄+1+H₁*H₂]*H₅+(1+H₁*H₂)*H₃+H₁
et
k₆= 1+H₂*H₃+H₅*[ H₂+H₄*(1+H₂*H₃)]


Dans le cas particulier ou tous les H_i sont égaux à 1 sauf H₂
les formules se simplifient:
G_n = F_n-2*(1+H₂)+F_n-3*(1)
k_n=F_n-3+F_n-2*H₂
et dans le cas ou H₂=2
les G_n sont les nombres de Lucas et les k_n les nombres de Fibonacci

A noter l'autre résultat connu lui depuis très longtemps si H₂ est aussi égal à 1
les G_n sont alors les nombres de Fibonacci.

Bonne soirée à tous

Serge Donnet