Cherche refs sur serie

Eric Chopin

Bonjour a tous,

Je cherche toute sorte d'info sur les series de fonction du type:

$$
s_\omega(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sin(\omega^n x)
$$

ou $x$ est réel, $\omega \in ]0,1[$.

J'ai vu qu'il s'agit de fonctions entieres, qui croissent
au pire comme $\mathop{O}\limits_{|x| \rightarrow \infty}(\log(x))$
mais a vrai dire quand j'en trace une j'en viens meme a me demander
si elle ne seraient pas bornées..... Vérifient elles des equations
fonctionnelles, différentielles? etc

Bref si quelqu'un sait s'il y a de la littérature sur ce genre de serie
je suis preneur.

a+

Eric

GPP290

Bonjour,
Je ne pense pas que la somme de la suite soit bornée.
Voici un contre exemple :
On choisit w = 1/5 et x = 5^n0 (pi/2)
Alors chacun des n0 premiers termes de la somme vaut 1 et tous les termes suivants sont >0
Donc la somme est minorée par n0 qui peut devenir aussi grand que l'on veut.

Eric Chopin

Bien vu guy, ca semble confirmer qu'on doit difficilement pouvoir faire
mieux que $\log(x)$ comme majoration à l'infini.

Merci,

Eric
PS: si ca peux simplifier je m'interesse surtout au cas $\omega=1/2$
en fait....

Ben

Des fonctions entières bornées, il n'y en a pas des masses ...

dark vador0

un article de JP ramis sur les serie diverger
APM ou RMS
a6+

Eric Chopin

Ben, quand je disais borné, c'est sur R bien sur (j'ai bien
precisé que ce qui m'intéresse c'est $x$ réel).

A+

eric

GPP290

Bonjour,
Je ne sais pas trop ce que l'on peut en faire, mais on a la relation fonctionnelle

$$\\
s_\omega(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sin(\omega^n x)\\
\\
s_\omega(x) = s_\omega(\omega x) + \sin(x)\\
$$\\
\\

Eric Chopin

C'est clair, mais je n'ai pas reussi a en deduire une equa diff
ou autre chose de plus interessant....

Merci quand meme pour tes réponses.

a+

eric