Norme d'algèbre

MrJ

Bonjour,

Je me demandais si une algèbre sur le corps des réel admet toujours une norme sous-multiplicative.
(En dimension finie, c'est toujours vrai).

Il me semble avoir lu il y a longtemps un exercice sur ce thème en considérant l'algèbre des fonctions réel, mais je ne le retrouve plus.

Merci pour votre aide.

christophe c

une norme [size=medium]sous-[/size]multiplicative

Que signifie cette expression ?

Pour information, une norme "tout court" prolongeant la valeur absolue n'existe que sur 3 sur-corps de $\mathbb R$, dont deux commutatifs qui sont $\mathbb R,\mathbb C$ et un non-commutatif qui est $\mathbb H$ (quaternions).

Cette affirmation est le célèbre théorème de Gelfand-Mazur, sauf erreur, qui m'avait fait poster plusieurs posts dans le passé (le corps des grandeurs du monde n'est pas normable).

Mais comme tu as ajouté le mot "sous-..." :-D ça change tout.

Poirot

Une norme sous-multiplicative c'est juste une norme telle que $||AB|| \leq ||A||.||B||$. Par exemple les normes dans les algèbres de Banach comme les espaces d'endomorphismes continus de Banach.

JLT

Soit $A$ l'algèbre des fonctions de $\N$ dans $\R$. Supposons qu'elle soit munie d'une norme d'algèbre $||\cdot||$.
Soit $f\in A$ la fonction $f(n)=n$. Pour tout $n\in\N$, soit $e_n\in A$ la fonction telle que $e_n(k)=1$ si $k=n$ et $e_n(k)=0$ sinon.

Soit $n$ un entier tel que $n>||f||$. On a $ne_n=fe_n$, donc $n\,||e_n||=||fe_n||\leqslant ||f||\,||e_n||$. En simplifiant par $||e_n||$, il vient $n\leqslant ||f||$, ce qui est contradictoire.

MrJ

Super JLT! Merci!
Ta démonstration s'adapte en plus à l'exercice que j'avais lu il y a longtemps!