Fonction symetrique et "complete function"

Bonsoir,


j'etudie actuellement la methode de Wronski (de recherche des zeros d'un polynomes). Celle-ci utilise les fonctions de Schur et on introduit plusieurs séries :

soit $A=\{ a_1,a_2,...\}$ un alphabet,

$$\lambda_z(A)=\prod_{a\in A}(1+az),~~\sigma_z(A)=\prod_{a\in A}\frac{1}{1-az}$$

dont le développement donne les fonctions symétriques élémentaires ($\Lambda^i(A)$) et les fonctions complètes ($S^i(A)$)
$$\lambda_z(A)=\sum z^i\Lambda^i(A),~~\sigma_z(A)=\sum z^iS^i(A)$$

Les indices des sommes ne sont jamais donnes dans les documents que j'ai trouve mais je suppose qu'on a $1\leq i\leq |A|$ puisque l'alphabet correspondra dans mon etude a l'ensemble des racines d'un polynome de degre $n=|A|$.

($\Lambda^i$ correspond au i-eme coefficient et non a la puissance i-eme de $\Lambda$).

En développant et en identifiant, on a sans probleme les $\Lambda^i(A)$ mais je ne vois absolument pas comment on peut obtenir les $S^i(A)$ (j'ai meme l'impression qu'il y a un probleme dans la definition mais comme je l'ai retrouvée dans plusieurs documents, je me dis que c'est moi qui ne vois pas quelque chose)...
Dans un preprint j'ai trouvé un exemple. Si on considere $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ alors $S^2(A)=a_1^2+a_2^2+a_3^3+a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$...

(et on a facilement $\Lambda^2=a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3$)

Est ce que quelqu'un peut m'eclairer sur le moyen de determiner ces $S^i(A)$ ???
Merci d'avance...

(pour une reference, voir par exemple \lien{http://phalanstere.univ-mlv.fr/cours/combinatoirePol.dvi})

Hoeg

Réponses

  • juste pour faire remonter un peu ma question....je sais que ce n'est pas tres "excitant" mais si quelqu'un me débloquait, je lui en serais reconnaissant...
  • Bonjour,

    Pour calculer les $S^i (A)$, il suffit de se servir de la série formelle $$\frac{1}{1-az}=1+az+a²z²+.....$$.

    Et donc développer proprement un produit de polynômes (car on peut s'arreter à un rang donné). On tombe bien sur le résultat annoncé pour $S^2 (A)$.
  • arf....je sentais bien le developpement en serie entiere...Merci beaucoup Robomarc.
    Y'a juste quelque chose qui me chagrine, c'est qu'a priori, cette serie a un rayon de convergence egal a 1 et rien ne dit qu'on reste uniquement dans le cercle unite...
    En fait j'ai quand meme du mal a voir comment faire ca bien proprement. D'une part parce qu'un polynome est une suite a support fini (la serie entiere est infinie) et d'autre part avec cette histoire de domaine d'etude....enfin je vais me pencher la dessus.

    Encore merci beaucoup !
  • C'est pas des séries entières, mais des séries formelles. Comme tu ne t'intéresse qu'aux coefficients des premiers termes, et que jamais tu ne donnes une valeur a z.... Pas de souci
  • effectivement....merci beaucoup Robomarc
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