Marche aléatoire

Bonjour, en ce moment j'étudie les chaînes de Markov et j'aurais besoin d'aide pour un exercice.
On se donne une marche aléatoire $S = (S_n)_{n\geqslant 0}$ sur $\Z/5\Z$ définie par $S_0=0$ et, pour tout $n\in \N^*$, $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$, où $(X_n)_{n\in \N^*}$ est une suite de variables aléatoires i.i.d de loi uniforme sur $\{ {-1},1\}$.
1. Montrer que $S$ est une chaîne de Markov sur $\Z/5\Z$ dont on précisera la distribution initiale $\nu $ et la matrice de transition $q$.

Voici ce que j'ai dit :

$ P(S_0=s_0,S_1=s_1,S_2=s_2,...,S_n=s_n) = P(0=s_0,X_1=s_1,X_2=s_2-s_1,...,X_n=s_n-s_{n-1}) $
$= P(0=s_0) \prod_{k=1}^n P(X_k=s_k-s_{k-1})$.

Donc $q(s_k,s_{k-1})=P_{X_k}( s_k-s_{k-1} )$, mais je n'arrive pas à préciser $\nu $.

Cordialement,

Réponses

  • Bonsoir,

    Quelques remarques :
    - La notation $\{0=s_0\}$ n'a pas vraiment de sens : $0$ et $s_0$ sont des constantes. Ici il serait préférable de garder $S_0$ dans l'écriture;
    - Ton noyau de transition me semble juste, mais, pour une chaîne de Markov à 5 états, on attends en général l'écriture explicite sous forme de matrice stochastique;
    - $\nu$ est la loi de $S_0$. Tu peux l'exprimer, soit sous la forme d'un vecteur, soit, si c'est une loi particulière et connue, sous son nom exacte.

    Bon courage.
  • En tenant compte de vos remarques, j'ai trouvé que l'on a $\nu = P_{S_0}$ et $q= \frac 1 2 \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
    1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
    1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
    \end{pmatrix}$.

    Je passe donc à la seconde question.
    2. Montrer que $S$ admet une unique loi stationnaire $\pi$ que l'on calculera, et que $S_n$ converge en loi vers $\pi$.

    Si j'ai bien compris, il faut que je détermine $\pi=(a\ b\ c\ d\ e)$ tel que $\pi q = \pi$. Cela revient à résoudre le système de cinq équations à cinq inconnues :
    $(q - I_5)
    \begin{pmatrix}
    a \\
    b \\
    c \\
    d \\
    e \\
    \end{pmatrix}
    =\begin{pmatrix}
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    0 \\
    \end{pmatrix} $.

    Or $\det(q-I_5) \ne 0$ donc $q-I_5$ est inversible donc $a=b=c=d=e=0$, d'où $\pi = (0\ 0\ 0\ 0\ 0)$.

    Ai-je bon ?
  • Ca ne peut pas être bon, car $1$ est valeur propre de toutes les matrices stochastiques.
  • Oui, j'ai voulu aller un peu vite tout content que j'étais...
    Je vais résoudre le système donc.

    Je trouve que $\pi = 1/5 (1\ 1\ 1\ 1\ 1)$ convient.
    Comment montrer que $S_n$ converge vers $\pi$ en loi ?
  • Ca dépend ce que tu as dans ta besace.
    Théorème de la probabilité stationnaire, irréductible, apériodique, tout ça, ça te parle ?
  • Que de gros mots :-)
    Malheureusement oui, ça me parle...
    Je regarde mon cours et je tente quelque chose ;-)
  • Ok, donc c'est bon pour la convergence en loi. A présent on me demande :
    3. Montrer que, pour tout $n\in\N$, la loi de $S_n$ peut s'écrire sous la forme :
    $P_{S_n}= (1-2a_n-2b_n) \delta_0 + a_n(\delta_{-1}+\delta_1) + b_n(\delta_{-2}+\delta_2)$

    où $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites que l'on caractérisera en précisant $a_0, b_0$ et, $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.

    Là je n'y arrive pas du tout, je ne sais même pas par où commencer...
  • Ecris déjà la loi de $S_n$ comme une combinaison de mesures de Dirac; tu y verras peut-être plus clair alors.
  • Ok, alors je trouve que :

    $P_{S_1}= \frac 1 2 (\delta_1 + \delta_{-1})$
    $P_{S_2} = \frac 1 4 (\delta_2 + \delta_{-2}) + \frac 1 2 \delta_0$
    Par contre, j'ai un peu de mal avec $P_{S_3}$...
  • Prends $n$ quelconque, mais ne cherche pas tout de suite à caractériser les coefficients.
  • Pour $n$ quelconque je ne vois pas comment faire. C'est pour ça que j'ai essayé avec des petites valeurs de $n$.
    J'ai besoin d'une aide supplémentaire ou alors je n'ai pas compris ce que tu essaies de me dire.
  • Tout simplement $P_{S_n}=\sum_{k=-2}^2 \mathbb{P}(S_n=k) \delta_k$.
    Maintenant, que faut-il montrer pour avoir la forme demandée ?
  • Ah d'accord, je ne connaissais pas cette formulation ! Que nous dis cette formule ? Je ne l'ai jamais vue.
    Du coup, il faut montrer que $P(S_n=1)= P(S_n= -1)$ et $P(S_n=2)= P(S_n= -2)$.
  • Je suis désolé, j'ai beau chercher, je n'arrive pas à exprimer cette loi. Une indication supplémentaire ?
  • aléa te donne la loi $\mathbb P_{S_n}$ de la variable aléatoire $S_n$. Écris proprement ce que ça veut dire, tu verras que c'est évident.
  • Ok, après calculs, je trouve que $a_0=b_0=0$ et trois équations :

    $1-2a_{n+1}-2b_{n+1}=a_n$
    $a_{n+1} = \frac 1 2 (1-2a_n-b_n)$
    $b_n{n+1}= \frac 1 2 (a_n+b_n)$

    Etes-vous d'accord avec mon résultat ?
  • En fin de comptes, on seulement $a_0=b_0=0$ et :

    $a_{n+1} = \frac 1 2 (1-2a_n-b_n)$
    $b_n{n+1}= \frac 1 2 (a_n+b_n)$

    Etes-vous d'accord ?
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