sous-espaces de $L^2(M)\cap C(M)$

JLT

Soit $M$ un espace compact. Soit $\mu$ une mesure de Radon sur $M$, de support $M$. Est-il vrai que tout sous-espace fermé de $L^2(M)$ qui est contenu dans $C(M)$ (l'espace des fonctions continues sur $M$) est nécessairement de dimension finie ? Si oui, comment le démontrer ? Sinon, y a-t-il une assertion vraie analogue ?

Poirot

Ça me rappelle le théorème de Grothendieck, petit classique d'agreg. Comme $M$ est compact, ton espace est bien inclus dans $L^2(M) \cap L^{\infty}(M)$.

gebrane

toute fonction continue est carré intégrable sur tout compact, par rapport à une mesure de Radon, donc $C(M)\subset L^2(M)$ non?

JLT

@Poirot : merci, ça me rappelait effectivement quelque chose mais je ne me souvenais plus quoi.

@gebrane : oui c'est vrai, mon titre était mal choisi.