Cercles tangents
Bonjour,
n'arrivant pas à démarrer cette démonstration que je pensais plutôt élémentaire, je suis en demande d'un peu d'aide ou d'une piste.
Sujet : Soit 3 cercles tangents comme sur la figure aux points A, B et C.
Les droites AC et BC recoupent le grand cercle en J et K.
Montrer que I, J et K sont alignés (I étant le centre du cercle extérieur).
Cordialement.
n'arrivant pas à démarrer cette démonstration que je pensais plutôt élémentaire, je suis en demande d'un peu d'aide ou d'une piste.
Sujet : Soit 3 cercles tangents comme sur la figure aux points A, B et C.
Les droites AC et BC recoupent le grand cercle en J et K.
Montrer que I, J et K sont alignés (I étant le centre du cercle extérieur).
Cordialement.
Réponses
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J'ai trouvé et effectivement c'est plutôt simple .
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Bonjour,
Deux angles qui interceptent le même arc sont égaux (du même côté de l'arc). Montrons que CBK est un angle droit.... -
Ce que je pensais avoir trouvé s'avère incomplet et je ne vois pas comment montrer que l'angle CBK (ou CAJ) est droit .
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Bonjour,
Ma mission semble périlleuse : donner des indications sans figure. Je fais toujours de tête pour le challenge... mais essaie cette procédure.
Tu traces les droites JK et AB et JA et KB et JB et AK.
Tu utilises les relations d'angles dans un cercle et tu notes les angles par cinq lettres. Bien sûr la somme des angles autour du point C est $2\pi$.
Normalement tu montres que $a+b+c+ x=\pi$ avec $x$ l'angle en B dans le triangle JBK.
Et la tu tournes en rond cinq minutes et disant que tu as écrit toutes les relations angulaires et que ca ne donne rien.
Puis l'idee salvatrice : tu écris que la somme des angles au centre I est $\pi$ : $ 2a+2b+2c=\pi$ et c'est fini. Faux : car on ne sait pas que la somme est $\pi$...
Vrai : on écrit que le triangle IBK est isocèle en I. L'angle au centre plus deux fois l'angle en K est $\pi$. Et on conclut correctement.
À retenir : on écrit les relations d'angles sur la circonférence puis au centre. -
Bonne Nuit
Sans commentaires.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
Appelons (I) le cercle extérieur, L le centre de (C), M le centre de (C’)
des homothéties, respectivement de centres A et B, transforment (C) en (I) et (C’) en (I)
donc CL est // IJ et CM est // IK
Or L, A, M sont alignés donc J, I, K sont alignés
Amicalement
Louis -
Bonjour Louis Le Goff
et merci pour cette élégante démonstration . Je n'étais pas parti dans cette voie .
"Or L, A, M sont alignés donc J, I, K sont alignés" je pense que c'est L , C et M qui sont alignés .
Cordialement -
Oui, la rectification de notations méritait d'être faite.
Merci
Louis -
Donc j'ai bien compris la démo . Et quand on voit sa simplicité , on n'a plus envie de faire la "chasse aux angles" que j'avais démarrée sans aboutir , ni l'exploration des quadrangles suggérée (je présume) par pappus .
En tous cas , merci à tous . -
Bonjour @fm_31,
Au contraire, il vaut mieux savoir faire un exercice de dix façons différentes que de savoir faire dix exercices différents. C'est mon opinion.
La méthode de @Louis Le Goff est élégante. J'y ai pensé après celle des angles dont on sait qu'elle marche souvent mais est penible. Utiliser une transformation est très souvent la meilleure approche : rapide et facile à rédiger.
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Bonjour!
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