transforme de fourier de sgn(x)

abed

Bonjour,

voila j'ai un petit exercice qui me bloque :
calculer la transforme de Fourier de f(x)=signe(x)

En fait, on a f'(x)=2$\delta$ (dirac en 0), F[f'(x)]=2 ou F est la transforme de Fourier et puisque F[f'(x)]=ixF[f(x)], on devrait trouver 2/ix.
Le truc c'est que j'arrive pas a faire le calcul directement (en supposant que ce que j'ai dis est juste ...)

merci

dark vador0

hello


il n' a pas de 1/x Dem
Tu dois connaître la valeur principale de Cauchy
T= vp(1/x)= intégrale de 1/x pour x> epsilon
On montre que x vp(1/x)=1
Notons FT la transformation de Fourier de T
-notons pi=a
-2axT a pour trans four (FT)’
donc xT
de xT=1 on fourierise dans S’ (FT)’=-2ia (delta) donc FT= -2ia H(y)+c
H est la distribution de Heaviside
Mais VP(1/x) est impaire ; sa trans de Fourier aussi
-2aiH(y)+c=-(-iaH(-y)+c)
donc 2c= 2ia(H(y)+H(-y))= 2ia donc C=ia
FT(y)=-ia((2H(y)-1)=-ia sign(y)
Mais FFT=T(-x)
Donc latranf de sign(x) est 1/ (1/x)
H(x)=(1+ sign(x)) sa Tf est ½( delta+1/i pi vp(1/y))
voila
c'est beau!

abed

Salut Dark Vador

j'ai pas encore eu le temps de regarder en detail ce que tu as ecrit, mais c'est bizarre que tu trouve pas le meme resultat puisque je suis sur que la formule
F[f'(x)]=ixF[f(x)]
Ou sinon ou est ce que j'ai fait une faute ?

Merci

dark vador0

toi tu as utilidser formule mauvaise
coté obscur!
tu as une formule qui te permet de calculer la tF de x f'x) vaut (TFf)'
la multiplication par x d'une distri correspond dans l'espace de fourier à la derivatin
c'est un sujet que j'ai filé en controle
il est bon!

je viens de trouver une autre meth
F[f'(x)]=ixF[f(x)],=2




a+

dark vador0

coucou Dem
Tu dois connaître la valeur principale de Cauchy
T= vp(1/x)= intégrale de 1/x pour IxI> epsilon
On montre que x vp(1/x)=1
Notons FT la transformation de Fourier de T
-nitons pi=a
-2axT a pour trans four (FT)’
donc xT
de xT=1 on fourierise dans S’ (FT)’=-2ia (delta) donc FT= -2ia H(y)+c
H est la distribution de Heaviside
Mais VP(1/x) est impaire ; sa trans de Fourier aussi
-2aiH(y)+c=-(-iaH(-y)+c)
donc 2c= 2ia(H(y)+H(-y))= 2ia donc C=ia
FT(y)=-ia((2H(y)-1)=-ia sign(y)
Mais FFT=T(-x)
Donc latranf de sign(x) est 1/iavp(1/x)
H(x)=(1+ sign(x)) sa Tf est ½( delta+1/i pi vp(1/y))

Autre meth
Si A= sign(x)
A’= 2 delta, posons a=pi
On fourierise 2ia y TFA=2 donc iayTFA=1
Mais yu=1 a pour sol particuliere u=vp(1/x)
Et yT=0 a pour sol Cdelta
iayTFA=1 a pour sol TfA= 1/ia vp(1/y)+ c(delta)
mais A=sign(x) est impaire sa Tf aussi comme Vp(1/y) l’est on aC=0
donc TfA= 1/ia vp(1/y) meme resultat qu’avant !

abed

Salut Dark Vador

Je n'ai pas vu ce qu'est la valeur principale de Cauchy en cours, donc on peut certainement faire autrement
De plus, la formule F[f'(x)]=ixF[f(x)] est juste (pour une distribution f) et j'ai vu que dans un bouquin il trouvait que la trans de Fourier de sgn(x) valait 2/ix en utilisant cette formule ...

Maintenant, ce qui m'interesse c'est de calculer la transf de Fourier directement a partir de l'integrale, mais le truc c'est qu'on tombe sur des trucs qui convergent pas ..

Merci

dark vador0

coucou
j'ai vu que dans un bouquin il trouvait que la trans de Fourier de sgn(x) valait 2/ix en utilisant cette formule ...
dans quel livre que je le brule?

Maintenant, ce qui m'interesse c'est de calculer la transf de Fourier directement a partir de l'integrale, mais le truc c'est qu'on tombe sur des trucs qui convergent pas ..

normal d'ou l'invention des distributions! en 1930

tu fais quoi comme etude?
a lire par ordre de facilite
distributions le roddier ed Mac Graw hill
methode mathematique pour les physiciens L schwartz ed hermann
outil math pour la phyques Petit ed Masson
les distributions michele Herve puf

abed

Pour ce qui est du bouquin, je sais pas mais c'est un bouquin que j'ai vu aujourd'hui a la BU (en anglais, je suis actuellement en angleterre, une annee Erasmus)
Pour ce qui est du resultat, je t'assure que c'est ce qui est ecrit
sinon mon exo ressemble a ca :

Soit la distribution f(x)=sgn(x) (on note F la transf de Fourier)
a) Calculer f', F[f], F[f']
b) soit L une distribution tempere. montrer que F[D$^{\alpha}$f]=(ix)$^{\alpha}$F[L]. Comparer avec a)

Donc on doit certainement pouvoir trouver le resultat a la main ... meme si je sais qu'avec la distribution d'Heaviside on peut donner un sens a des integrales singulieres, c'est certainement pas ce qui est demande
Sinon en ce qui concerne le resultat, il est facile de calculer f' et F[f'] et donc de trouver F[f] avec la formule (qui elle est juste, je viens juste de verifier dans Functional analysis de Yosida), et donc c'est ce qu'il faut dire quand on nous demande de comparer avec a)

Merci

dark vador0

coucou
pour heaviside
H(x)=(1+ sign(x)) sa Tf est ½( delta+1/i pi vp(1/y))
les blivres anglais sont moins rigoureux que les français!
ils ne font pas la differrences entre 1/x et vp(1/x)
) soit L une distribution tempere. montrer que F[Df]=(ix)F[L]. Comparer avec a)

*= convolution
delta*f=f
(delta)'*f= f'
(delta)''*f= f''
(delta)'''*f= f'''
tu prend le tf de foureit des deux membres F(f*g)=Ff.Fg
regardes lev rudin analyse functionnelle
ou es tu en angleterre quel fac , quel niveau d'etude,
tu fais des math ou de la physiqueN

abed

En ce qui me concerne, jsuis a l'universite de Warwick et en maitrise de mathematiques, et comme tu peux le voir je debute avec les distributions (au fait c'est vraiment pas mon truc mais jsuis oblige de suivre le cours d'analyse de fourier pour valider mon diplome en france)
Pour ce qui est de la litterature anglaise, faut arreter d'etre chauvin, surtout qu'il y 10 fois plus de bouquins qu'en francais, et les auteurs de ces bouquins ne sont pas souvent anglais (par ex "Riemannian geometry" de Gallot-Hulin-Lafontaine, 3 auteurs francais mais le livre n'existe qu'en anglais)
En ce qui concerne l'exercice, on n'a pas vu heaviside et la vp de cauchy, donc faut que je fasse sans, et puis c'est a rendre mercredi donc je fais le faire a l'arrache, en tout cas jte remercie de ton aide.