Espérances conditionnelles, densité

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour calculer les espérances conditionnelles suivantes ainsi que la loi conditionnelle de $X$ sachant $Y$ (voir l'exercice).

Au début je pensais utiliser le fait $\displaystyle f_{(X|Y)} (x,y)= \frac{f_{(X,Y)}(x,y) }{ f_Y(y)}$, mais je n'y arrive pas et même en utilisant cette méthode, cela n'embête un peu de raisonner comme ça parce qu'on demande à la troisième question $f_{(X|Y)}$...

Déjà, l'expression de la fonction de répartition $f_{(X,Y)}(x,y)$ ne dépend pas de $y$, que peut-on en déduire ? J'ai l'impression que du coup $E(X|Y)$ "ne dépend presque pas de $y$", dans le sens où, si on se fixe un certain $y\in [0,1]$ alors $x\in [y-1,1-y]$.

Merci d'avance pour toute aide !63790

Réponses

  • Attention, $f_{(X,Y)}(x,y)=6x^2 1_T(x,y)$ !
  • Oui, ca j'avais compris. J'ai cherché entre temps et après calculs, je trouve que $E(X|Y)=0$ (cela semble venir du fait que f et T sont symétriques suivant la variable $x$).
  • Tu as effectivement
    \[\mathbb{E}(X|Y)=\int_{\Omega}{x\mathbb{P}_{(X|Y)}(dx)}=\int_{\Omega}{xf_{(X|Y)}(x)}dx,\]
    qui nécessite la densité conditionnelle. Mais tu as aussi, à partir de la densité jointe,
    \[\mathbb{E}(X|Y)=\left.\int_{\Omega}{x\mathbb{P}_{(X,Y)}(dx,y)}\right|_{y=Y}=\left.\int_{\Omega}{xf_{(X,Y)}(x,y)}dx\right|_{y=Y}.\]
  • Ok, merci pour votre aide, je pense avoir trouvé !
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