Récurrence délicate

Wàng

Bonjour, je sèche sur un exo du bouquin d'algèbre de TC Durrande 1980. Je n'arrive plus à voir le truc ; c'est sur les suites, donc je poste en analyse. Les encadrements bourrins normaux ne marchent pas.

-1/2 <= U0 < 0
Un+1 = Un + Un²

Prouver que pour tout n dans les entiers : -1/(n+1) <= Un < 0 (??)

Merci ...

Dom

Bonsoir,

Peut-être qu'avec une petite étude de fonction : $f : x \mapsto x+x^2$ sur $\Big[\dfrac{-1}{n+1};0\Big]$ ?

Wàng

Bonsoir, oui, ça parait évident, je vais essayer.

Mais tout de même : l'exercice est au chapitre récurrence dans le cours sur les entiers naturels. ;-)

Il est explicitement demandé de faire une récurrence ... c'est que ça doit être faisable comme ça.

Dom

Je n'ai pas d'idée.
Le fait que $u$ soit une suite strictement négative se fait bien.
Par contre pour avoir la minoration, je sèche sans sortir l'artillerie de l'analyse.
Ou alors il faut peut-être se lancer dans des beaux (affreux !) calculs...

roumegaire

En écrivant $u_n^2 + u_n$ = $u_n(u_n+1)$ on montre facilement que la suite est bien négative. En revanche on n'obtient qu'une minoration par 1/(n+1) au lieu de 1/(n+2).

YvesM

Bonjour,

Voici une indication partielle pour que tu commences.

Soit la suite numérique $u$ définie par $\displaystyle u_0$ tel que $\displaystyle -\frac12 \leq u_0 <0$ et, pour tout $n$ entier, par $\displaystyle u_{n+1} = u_n + u_n^2.$

On veut d'abord montrer que, pour tout $n$ entier, $\displaystyle u_n <0.$

On établit le résultat par récurrence avec l'hypothèse de récurrence : $\displaystyle \forall n \in \N, -1 < u_n <0.$

gebrane

L'indication de Dom est pertinente: la récurrence a besoin d'une étude de fonction
Soit $f(x)=x+x^2$ alors f est strictement croissante sur $[-\frac 12, 0[$
Si on suppose $-\frac 1{n+1}\leq u_n<0$, pour un $n\geq 1$ alors $-\frac 12\leq -\frac 1{n+1}\leq u_n<0$ et donc $f(-\frac 1{n+1})\leq u_{n+1}<f(0)$, donc ...

Wàng

Merci à tous, je pense qu'on est obligé d'utiliser la décroissance de la fonction f dans la récurrence. Effectivement, en restant dans les suites la majoration par 0 était acquise, mais la minoration restait insuffisante (quelle frustration !), comme l'a bien noté Roumegaire.

gerard0

Wang, un rappel :
En 1980, quand on arrivait en TC, étudier une fonction pour connaître le type de valeurs qu'elle prend était supposé évident à faire pour un élève de terminale C ou D. Et les C étaient les plus matheux. On commençait à faire ça en seconde (sans les dérivées) sur des composées de fonctions élémentaires.
Comme ta fonction est justement une composée de fonctions élémentaires (pense à la forme canonique), on peut faire ce que tu veux de façon purement algébrique. Je te laisse le plaisir de découvrir que "ça marche bien".

Cordialement.

YvesM

Bonjour,

Pour rester dans la récurrence, on peut montrer que $\displaystyle \forall n \in \N, {-1 \over n+1} \leq u_n.$

Pour $n=0$, on a bien $\displaystyle u_0 \geq -\frac12 >-1.$
On suppose $\displaystyle {-1 \over n+1} \leq u_n, n \in \N.$
On calcule $\displaystyle u_{n+1} = u_n + u_n^2 = u_n(1+u_n)$ or $\displaystyle 1+u_n \geq 1-{1 \over n+1} ={n \over n+1} >0$ et alors $\displaystyle u_{n+1} \geq {-1 \over n+1}(1+u_n) \geq {-1 \over n+1} -{u_n \over n+1} .$ Mais, on sait que la suite $u$ est croissante car $u_{n+1} -u_n = u_n^2 >0.$ On en déduit donc que $\displaystyle u_{n+1} \geq {-1 \over n+1} -{u_n \over n+1} \geq {-1 \over n+1} -{u_{n+1} \over n+1} $ qui est équivalent à $\displaystyle u_{n+1} \geq {-1 \over n+2} .$

Non ?

On peut donc faire cet exercice avec une application précise des récurrences sans étude de fonction.

gebrane

Wàng écrivait:

---

je pense qu'on est obligé
> d'utiliser la décroissance de la fonction f dans
> la récurrence.

je pense que tu n'as pas compris, puisqu'on utilise la croissance de f

L2M

@Wàng : il suffit d'utiliser la récurrence et la forme canonique : $ \displaystyle u_n^2+u_n = \left(u_n+\frac 12\right)^2-\frac 14$.

Tu trouvera avec la plus grande précision possible : $\displaystyle \frac{-n}{(n+1)^2} \leq u_{n+1}<0$, et il est facile de verifier que $\displaystyle -\frac{1}{n+2}< \frac{-n}{(n+1)^2}$

L2M

Dernière remarque, la proposition de récurrence doit être vérifiée à partir de $1$.

L2M

Changeons un peu la question : $\displaystyle -\frac 12 \leq u_1<0$ montrons que $\displaystyle \forall n\geq 1; \quad -\frac 1{n+1} \leq u_n<0$.
On sait que : $ \displaystyle u_n^2+u_n = \left(u_n+\frac 12\right)^2-\frac 14$.
- Pour $n=1$ on a $\displaystyle -\frac 12 \leq u_1<0$
- Soit $n\geq1$, supposons que $\displaystyle -\frac 1{n+1} \leq u_n<0$ et montrons que $\displaystyle -\frac 1{n+2} \leq u_{n+1}<0$.
$$\begin{align*}
-\frac 1{n+1} \leq u_n<0 &\Longrightarrow -\frac 1{n+1} + \frac12\leq u_n+\frac12 < \frac12\\
&\Longrightarrow \frac {n-1}{2(n+1)} \leq u_n+\frac12 < \frac12\\
&\Longrightarrow \frac {(n-1)^2}{4(n+1)^2} - \frac14 \leq \left(u_n+\frac 12\right)^2 - \frac14< 0\\
&\Longrightarrow -\frac {n}{(n+1)^2} \leq u_{n+1} < 0\\
\end{align*}
$$
En d'autre part : $\displaystyle \frac{-n}{(n+1)^2} - \left( -\frac{1}{n+2} \right) = \frac1{(n+2) (n+1)^2}>0$

d'où : $\displaystyle -\frac{1}{n+2} \leq u_{n+1} < 0$

L2M

@gerard0 : Désolé je viens de lire ta suggestion de la forme canonique. Ce que @gerard0 veut dire dans son message c'est que les lois d'ordre qu'on fait au collège proviennent de façon directe et implicite de la monotonie des fonction élémentaires.

gerard0

Pas de souci !

Wàng

gebrane0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1469590,1469888#msg-1469888

Lapsus, bien sûr, je voulais écrire croissance. J'ai réussi l'exo de cette façon. Mais je vais lire attentivement les messages qui parlent de résolution purement algébrique, ça m'intéresse évidemment.

Wàng

gerard0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1469590,1469770#msg-1469770
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

---

Le genre de truc auquel on ne pense pas du tout aujourd'hui, voilà une raison pour laquelle je bosse avec ces bouquins, j'admire à la fois leur clarté très détaillée, et leur haut niveau. Super intéressant.

À noter que dans ce chapitre sur les entiers, j'ai eu des réponses à des questions trouvées dans aucun livre de prépa ou de licence ou équivalent, comme le Pearson, le Warusfel, RDO ou le Godement. Notamment une construction des opérations sur N avec la théorie ensembliste et une justification détaillée de la compatibilité de la multiplication sur N² avec la relation d'équivalence permettant de construire Z.

Le seul souci est que les exos ne sont pas corrigés, alors je sais faire la plupart mais quand je coince, je coince vraiment. ;-) Le but des exos reste avant tout d'abattre ce genre de difficulté et pas de refaire des trucs qu'on maîtrise déjà.