Tore+systole

Krokop

Bonsoir,

Étant donné un convexe $K$ d'intérieur non vide symétrique avec $0\in Int(K)$ on a une norme $N$ sur $\Bbb{R}^n$: la jauge de Minkowski, un avantage est que la boule unité n'est rien d'autre que $K.$

Si je quotiente $\Bbb{R^n}$ par un réseau $\Gamma$ on a un tore. Qu'est-ce que signifie dans ce cadre un lacet sur le tore? Doit-on toujours passer par la métrique plate ?



On définit la systole comme la plus petite longueur d’une courbe non contractile sur $\Bbb{T}^n$. Mais je suppose que dans ce cadre on définit la systole via la norme $N.$

Pour cela grâce au théorème de relèvement des chemins la longueur d'un lacet $\gamma$ sur le tore est celui de son relevé $\tilde \gamma.$

Le but étant de prouver qu'un final la systole sur le tore via $N$ n'est rien d'autre que $\inf( N(x): x\in\Gamma\setminus \{0\}).$


Comment faire ?

[EDIT: question légèrement modifié, désolé]

remarque

Krokop écrivait:

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> Étant donné un convexe $K$ symétrique avec $0\in K$ on a une norme $N$ sur $\Bbb{R}^n$: la jauge de Minkowski,

Il vaudrait mieux que $K$ soit d'intérieur non vide pour cela et que $0$ soit dans cet intérieur.

> Si je quotiente $\Bbb{R^n}$ par un réseau $\Gamma$ on a un tore. Qu'est-ce que signifie dans ce cadre un lacet sur le tore?

Bah, c'est une application continue blablabla à valeurs dans le quotient. Ouate iz ze problème ? Pas de rapport avec la métrique pour dire ce qu'est un lacet.

Krokop

Oui merci remarque, je corrige.

En effet pas de problème, je voulais surtout parler de la longueur d'une courbe par rapport à la systole. J'ai posté un peu rapidement.