équation différentielle

Salut les matheux
Comment résoudre cette équation différentielle : $$x''(t)=ae^{-bx(t)}$$ avec $a$ et $b$ deux constantes.
Merci.

Réponses

  • Tu multiplies par $x'(t)$ et tu intègres ?
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • mais comment?
  • A nous les idées et à toi le comment :-D
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  • Tu peux intégrer puisque le logiciel Maple a donné la solution formelle explicite.
  • l'idée est fausse : comment integrer $x'(t)x''(t)$!
  • quelle est la solution formelle de cette équation?
  • Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • est ce que $\dfrac{1}{2}x(t)^{2}$???
  • il manque un coup de pinceau :-D
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Voici la solution donnée par maple (Fichier joint)
  • Merci markovski
    est ce que tu peux m'exécuter cette equation sur mathlab
    $$x''(t)=\dfrac{2ab}{c}[e^{-a(x(t)-d)}-e^{-2a(x(t)-d)}]$$
  • Mais Matlab ne donne pas des solutions formelles comme Maple mais seulement des valeurs numériques ou des graphes.
  • c'est pas grave monsieur
  • une constante d'intégration???
  • Salut les matheux.
    Comment résoudre cette équation différentielle : $$x''(t)=ae^{-bx(t)}$$ avec $a$ et $b$ deux constantes.
    Merci.

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  • Bonjour.

    Multiplier des deux côtés par x'(t) donne une intégration simple.

    Cordialement.
  • oui mais apres on trouve x'(t) mais commenet trouver x(t)??
  • Qu'as-tu trouvé ?
  • Le résultat est : $$x^{\prime}(t)^{2}=2\Big(\dfrac{a}{b}e^{-bx(t)}+c_{1}-c_{0}\Big).$$ Comment déterminer $ x(t)$ ??
  • Pourquoi 2 constantes ?

    En se plaçant sur un intervalle où le second membre est positif, on a une équation d'ordre 1, à variables séparables, qui se résout bien. Il faut évidemment tenir compte de conditions initiales que tu n'as pas précisées.

    Cordialement.
  • Les deux constantes car il s'agit d'une équation à deux membres.
    La condition initiale est $x(0)=x_{0}$.
  • Une équation à deux membres ?
  • est ce qu'il y a pas de constante d'integration??
  • Si ,mais pourquoi voudrais-tu en mettre 50??
  • Pas bien les amis de jouer au chat et a la souris. $2x'x''=2ae^{-bx}x'$ entraine $\frac{dx}{dt}=\pm f(e^{-bx})$ avec $$f(y)=(C-\frac{2a}{b}y)^{1/2}.$$ Je traite le cas positif pour simplifier. Avec le changement de fonction inconnue $y=e^{-bx}$ on arrive a
    $$-\frac{dy}{byf(y)}=dt$$ et la quadrature se traite en posant $u =f(y),$ qui ramene a la primitive d'une fraction rationnelle.
  • P.

    manifestement, il y a eu rassemblement de deux sujets, ce qui fait qu'on a l'impression d'un long débat. Et aussi, une attente de Algebras que quelqu'un fasse le travail à sa place ... il a fini par gagner, j'espère qu'il te dira merci !

    Cordialement
  • Exercice
    En utilisant l'algorithme de P, démontrer que la solution de l’équation différentielle $${x''(t) = 2 e^{-x(t)},\ x(1) = 1,\ x'(1) = 0}$$ est
    $\displaystyle x(t) = -\ln(4)+\frac{\sqrt e - 2 (t + 1))} {\sqrt e} +2\ln( e^{\frac {{2 t}}{\sqrt e}} + e^{\frac {2 }{\sqrt e}}) $

    (Mes pensées à YvesM, plus rapide que son ombre)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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