Groupe fondamental: espace privé d'un cercle

Krokop

Bonjour à tous,

Aujourd'hui j'essaye de calculer le groupe fondamental de $\Bbb{R}^3$ privé d'un cercle. Je note le cercle $C$ que je suppose être $\{(x,y,0)\in \Bbb{R}^3: x^2+y^2=1\}.$

Je prends un réel $0<\alpha<1.$ Je tranche mon cercle pour des valeurs de $y>\alpha$ et $y<\alpha$ c'est-à-dire: $$C_1:=C\cap \{y>\alpha\}\quad \text{et}\quad C_2:=C\cap \{y<\alpha\}.
$$ Je considère les ouverts \begin{align*}
U_1&=\Bbb{R}\times{\color{red}]}{-}\alpha,+\infty{\color{red}[}\times\Bbb{R}\setminus{C_1}\\
U_2&=\Bbb{R}\times{\color{red}]}{-}\infty,a{\color{red}[}\times\Bbb{R}\setminus{C_2}\\
U_3&=U_1\cap U_2.
\end{align*} Ils sont connexes par arcs (pas trop dur).

Je cherche le groupe fondamental de $U_1$ en premier (on verra après..). Sauf erreur, visuellement c'est un plan (j'oublie l'axe des $z$) privé d'un demi cercle. Si j'allonge le cercle ça devient une droite. Donc je devrais avoir le même type d'homotopie que $\Bbb{R^3}\setminus {l}$ où $l$ est la droite $\{(x,1,0): x\in\Bbb{R}\}$

Et pour celui-là je sais faire: C'est un rétract par déformation de $\Bbb{R^2}\setminus{\{0,0\}}$ qui se rétract à son tour sur $S^1.$ Donc je devrais trouver $\Bbb{Z}.$
Est-ce correct ? Si oui comment montrer ce qui est en rouge svp ?

[Pour éviter toute ambiguïté, les intervalles s'écrivent avec des '[' et ']'. Merci. AD]
[ah oui désolé, merci à toi]

Pablo_de_retour

Bonjour,

Pour répondre à ce qui est noté en rouge :
Pour que deux objets ont meme type d'homotopies, il suffit qu'ils soient homéomorphes, c'est ce que tu as fait manuellement il me semble. :-)

Cordialement.