Morphismes de chaînes: homotopie

Krokop

Boniour à tous,

On appelle homotopie entre deux morphismes $f,g:C\to D$ de complexes de chaînes la donnée d'une famille $h=(h_n:C_n\to D_n)$ de morphismes de groupes telle que $$f_n-g_n=\partial_{n+1}h_n+h_{n-1}\partial_{n}$$ où $\partial$ est la différentielle.

Pourquoi appelle-t-on cela une homotopie ? Je ne vois aucun lien avec l'homotopie "classique"? Est-ce parce que dans ce cas les groupes induits en homologie sont égaux?

Bon sinon ce qui m'intéresse le plus c'est une "intuition" ou une "motivation" d'une telle formule ne serait-ce que pour réussir à la retenir...

Merci d'avance

Pablo_de_retour

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, si $ f,g : X \to Y $ sont homotopes au sens classique, alors : $ f_* = g_* : H_n (X) \to H_n (Y) $ pour tout $ n \geq 0 $.
en effet :
On définit $ \iota_0 : X \to [0,1] \times X $ par : $ \iota_0 (x) = (0,x) $.
On définit $ \iota_1 : X \to [0,1] \times X $ par : $ \iota_1 (x) = (1,x) $.
Si $ h : [ 0,1 ] \times X \to X $ est une homotopie qui relie $ f $ à $ g $, alors : $ f = h \circ \iota_0 $ et $ g = h \circ \iota_1 $
Donc, pour montrer que : $ f_* = g_* $, il suffit de montrer que $ \iota_{{0}_{*}} = \iota_{{1}_{*}} $ au sens que tu définis plus haut, parce que, par fonctorialité, on a : $ f_* = h_* \circ \iota_{{0}_{*}} = h_* \circ \iota_{{1}_{*}} = g_* $.
Pour montrer que $ \iota_{{0}_{*}} = \iota_{{1}_{*}} $, on utilise la définition que tu écris dans ton premier poste.

Cordialement.

Poirot

Ça ne répond pas à la question de Krokop. Je ne sais pas quelle intuition il y a derrière, mais c'est fait pour que les morphismes induits en homologie ou en cohomologie soient les mêmes. Ça permet de montrer que le calcul de la cohomologie ne dépend pas de la résolution injective choisie par exemple.

Krokop

Merci pour ta réponse Poirot, il faut donc questionner l'histoire. Ta dernière phrase est un mystère linguistique ;p.

NoName

Si tu as $f,g: X\to Y$ deux applications continues entre espaces topologiques. Elles induisent deux morphismes de complexes du complexe des chaines singulières $f_*, g_*: C_\bullet(X)\to C_\bullet(Y)$.
Si $f$ et $g$ sont homotopes, au sens "il existe $H: X\times I \to Y$ tel que $H(\bullet, 0)=f$ et $H(\bullet, 1)=g$", alors $f_*$ et $g_*$ sont homotopes au sens de ton message.

Pablo_de_retour

Peux tu expliciter pourquoi il y'a ça Noname ?
Merci.

NoName

Par fonctorialité il suffit comme tu l'as ecrit dans ton message de prouver que c'est le cas pour les inclusion $i_0$ et $i_1$ de $X$ dans $X\times I$. Du coup il suffit de définir $K$ comme l'opérateur "prisme" qui décompose un prisme à base simpliciale en somme alternée de simplexes dont il est réunion.
De manière précise si $s: \Delta^n\to X$ est un $n$-simplexe de $X$ alors $s\times 1:\Delta^n \times I \to X\times I$ est un "prisme" singulier, et on pose $K(s)=\sum_{j=0}^n (-1)^i s\times 1_{| [v_0,..., v_i, w_i...,w_n]}$ où les $v_i$ sont les sommets du n-simplexe standard $\Delta^n\times \{0\}\subseteq \Delta^n\times I$ et les $w_i$ sont les sommets de $\Delta^n\times \{1\}\subseteq \Delta^n\times I$. Comme $v_0,...,v_i, w_i,...,w_n$ sont affinement indépendants $s\times 1$ restreint à leur enveloppe convexe est un $n+1$ simplexe singulier de $X\times I$.

Il reste à prouver que $\partial K(s)+K\partial(s)=i_{0*}(s)-i_{1*}(s)$ ce qui résulte d'un petit calcul et se voit de toute façon bien sur un dessin (le prisme batti sur $s$ est le prisme bati sur les bords plus les deux faces des extrémités)

Pablo_de_retour

Ah oui, c'est vrai. Merci. :-)

NoName

Il est rigolo de faire la meme chose mais en passant par le yoga des ensembles simpliciaux/groupes simpliciaux et de voir que la définition à laquelle on pense pour les homotopies d'ensembles simpliciaux a bien comme réalisation un homotopie topologique et donne une homotopie de chaine sur le le complexe de Moore du groupe simplicial associé.

Pablo_de_retour

Noname a écrit:

Il reste à prouver que $\partial K(s)+K\partial(s)=i_{0*}(s)-i_{1*}(s)$ ...

Mais, si $\partial K(s)+K\partial(s)=i_{0*}(s)-i_{1*}(s)$, pourquoi cela voudrait-il dire que $ f_* $ et $ g_* $ sont homotope au sens des complexes, c'est ce que je n'arrive pas à démontrer. :-)

NoName

Il suffit d'appliquer $H_*$ ou $H$ est l'homotopie topologique $X\times I\to Y$ entre $f$ et $g$.
Tu l'as écrit toi meme dans ton premier message dans le fil...

Pablo_de_retour

$ \partial K(s)+K\partial(s)=i_{0*}(s)-i_{1*}(s) \ \ \Longrightarrow \ \ H_* \partial K(s)+H_* K\partial(s)=H_* \circ i_{0*}(s)- H_* \circ i_{1*}(s) = f_* - g_* $, non ?

edit : Non, je l'ai pas écrit, j'ai sauté ce point.

NoName

Tu l'as pas écrit???

Pablo_de_retour écrivait:

> Donc, pour montrer que : $ f_* = g_* $, il suffit
> de montrer que $ \iota_{{0}_{*}} = \iota_{{1}_{*}}
> $ au sens que tu définis plus haut, parce que,
> par fonctorialité, on a : $ f_* = h_* \circ
> \iota_{{0}_{*}} = h_* \circ \iota_{{1}_{*}} = g_*
> $.

Pablo_de_retour

Ah, d'accord. Pour toi $ f_* $ et $ g_* $ sont homotopes, signifie que : $ f_* = g_* : H_* (X) \to H_* (Y) $. :-)

NoName

Bon, soyons serieux deux minutes.
J'ai répondu à la question initiale de Krokop. S'il veut plus de précisions je lui en donnerai.
En attendant relis ce que j'ai écris, tout y est.

Pablo_de_retour

D'accord. Merci beaucoup. :-)

NoName

Au passage je m'apercois qu'il y a une coquille dans le premier message de Krokop, $h_n$ va de $C_n$ dans $D_{n+1}$

Krokop

Merci NoName, c'est intéressant.