$\Bbb{R}^2$ privé de $n$ points

Krokop

Bonsoir à tous,

je m'intéresse au groupe fondamental de de $\Bbb{R^2}\setminus \{x_1,\ldots,x_n\}$

Bon déjà le cas $0$ point est facile :-D.

Sinon, si on enlève un point alors on a $\Bbb{R^2}\setminus\{x_1\}\cong B(0,1)\setminus\{x_1\}\cong B(0,1)\setminus\{0\}\cong \Bbb{R^2}\setminus\{0\}$ où $\cong$ signifie homéomorphisme. (Je n'explicite pas car connu mais pas si facile quand même)

Par récurrence sur $n.$ Soient $x_1,\ldots,x_n,x_{n+1},\quad n+1$ points; $X:=\Bbb{R}^2\setminus\{x_1,\ldots,x_{n+1}\}$. Je sépare un point de $n$ autres. Formellement je prends une forme linéaire $L$ telle que $L(x_i)<-r$ pour $i=1,\ldots,n$ et $L(x_{n+1})>r$ pour un certain $r>0.$

Soient $U_1=\{L(x)>-r\}$ et $U_2=\{L(x)<r\}$ et on prend $V_1=X\cap U_1$ et $V_2=X\cap U_2$. Clairement $V_1\cap V_2$ est connexe par arcs, et donc le théorème de Van Kampen s'applique facilement car :

-V_2 c'est l'hypothèse de récurrence
-V_1 cf début du message.

Le groupe est donc le groupe libre à $n$ générateur (sauf erreurs).

J'ai un problème: je ne sais pas prouver l'existence de la forme linéaire. Ça semble être du "pipi de chat" par rapport au reste mais....

Si c'est vraiment trivial, un argument d'autorité me suffit: je chercherai plus.

GaBuZoMeu

Choisis une direction de droite qui n'est aucune de celle des droites $(x_ix_j)$. Soit $\ell$ une forme linéaire équation de cette direction. Alors les $\ell(x_i)$ sont tous distincts.
Après il n'est pas dur de fabrique une forme affine (pas linéaire !) qui fait ce que tu veux.

Krokop

Merci GaBuZoMeu, toujours au top. Je regarderai ça demain.