matrices inversibles

emmanuel

Bonjour à tous,
Pouvez-vous m'aider sur le pb suivant?
En notant M* la conjuguée de M dans GLn(C):

Soit M de GLn(C) telle que MM*=In. Montrer qu'il existe B de GLn(C) telle que M=B(B*^-1)?

Merci d'avance,
Emmanuel

emmanuel

Je me permets de remettre sur le dessus de la pile mon post, avant qu'il ne tombe définitivement dans les oubliettes...

darkvador

coucou
B est solution
module det M=1

emmanuel

Merci darkvador. Mais je ne vois toujours pas comment montrer l'existence de B. Si tu pouvais m'apporter un peu plus d'aide... merci d'avance.

Cédric ALLALI

Salut,

Tout d'abord, $M^*$ est la transconjuguée et non la conjuguée de $M$.
$M$ est unitaire donc diagonalisable dans $M_n(\C)$ dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont de module $1$:
$\exists P \in GL_n(\C),\ \exists D \in D_n(\C)\ M=PDP^* $
où $D_n(\C)$ est l'ensemble des matrices diagonales à coefficients dans $\C$.
$M^*=PD^*P^*$ donc $MM^*=PDD^*P^*=I_n$ et $DD^*=I_n$.

On peut donc se limiter au cas où $M$ est une matrice diagonale car si $D=CC^*^{-1}$ alors $B=PCP^*$ convient.
Si $D=diag(e^{i\theta_1},\dots, e^{i\theta_n})$ alors $B=diag(e^{\frac{i\theta_1}{2}},\dots,e^{\frac{i\theta_n}{2}})$ convient.

emmanuel

Merci Cédric.
Cependant, je confirme ma notation (malheureuse certes mais je ne sais pas comment faire la barre de conjugaison en code Latex): M* désigne ici la matrice conjuguée de M (ses termes sont les conjugués de ceux de M) et non pas la transconjuguée de M.
Du coup si je cherche à m'inspirer de ta démarche, il serait heureux que M soit diagonalisable, ce que je ne parviens pas à montrer...