Trouver les orbites
Hello,
Je bloque sur la question suivante :
Soit $p$ un nombre premier, on note $\Gamma(p) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\Z) \mid a=d=1 \pmod{p} \text { et } b=c = 0 \pmod{p} \right\}$. Et on considère l'action de $\Gamma(p)$ par homographie sur la droite projective $\mathbb{P}^1(\Q) = \Q \cup \{ \infty \}$.
Est-ce que quelqu'un sait comment trouver le nombre orbites de cette action et un système de représentant des orbites etc ?
Je bloque sur la question suivante :
Soit $p$ un nombre premier, on note $\Gamma(p) := \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\Z) \mid a=d=1 \pmod{p} \text { et } b=c = 0 \pmod{p} \right\}$. Et on considère l'action de $\Gamma(p)$ par homographie sur la droite projective $\mathbb{P}^1(\Q) = \Q \cup \{ \infty \}$.
Est-ce que quelqu'un sait comment trouver le nombre orbites de cette action et un système de représentant des orbites etc ?
Réponses
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Salut flip-flop
Quelques éléments de réponse ci-dessous. Sauf que je vais remplacer $\Gamma(N) \subset \text{SL}_2(\Z)$ par son image par $\pi : \text{SL}_2(\Z) \twoheadrightarrow \text {PSL}_2(\Z)$, image que je note $\overline\Gamma(N)$. Je fais cela (et donc ce n'est pas tout-à-fait la réponse à ta question) car c'est lié à la courbe modulaire $X(N)$. Tu feras les adaptations nécessaires si tu veux vraiment les orbites de $\Gamma(N)$ ; qui ne sont pas celles de $\overline\Gamma(N)$ car $-\text{I}_2 \notin \Gamma(N)$. Attention aux notations/conventions chez les auteurs : elles ne sont pas toutes les mêmes.
Il n'y a pas eu ce souci pour $\Gamma_0(N)$ car $-\text{I}_2 \in \Gamma_0(N)$. Au fait, est ce que ``$\Gamma_0(N)$, c'est terminé pour toi'' (pour moi : non) ?
Un premier point de vue (ci-dessous, $a,b,a',b' \in \Z$ avec $a \wedge b = a' \wedge b' = 1$):
$$
(a : b) \equiv_{\overline\Gamma(N)} (a' : b') \qquad\Leftrightarrow\qquad \pmatrix {a\cr b} \equiv \pm \pmatrix {a'\cr b'} \bmod N
$$
On finit par en déduire, en notant, pour un anneau $A$, par $\text{UM}_k(A)$ l'ensemble des vecteurs unimodulaires de $A^k$, que :
$$
\text{Cusps}(\overline\Gamma(N)) = {\text{UM}_2(\Z/N\Z) \over \{ \pm 1\} }
$$
On a alors une surjection :
$$
\text{Cusps}(\overline\Gamma(N)) \twoheadrightarrow \mathbb P^1(\Z/N\Z) = {\text{UM}_2(\Z/N\Z) \over (\Z/N\Z)^\times }
$$
dont chaque fibre est de cardinal $\varphi(N)/2$ pour $N > 2$. Pour $N = 2$, petite modification à apporter car $-1 = +1$ : il faut remplacer $\varphi(N)/2$ par $1$. On obtient donc pour $N > 2$ :
$$
\#\text{Cusps}(\overline\Gamma(N)) = {\varphi(N) \over 2} \times \#\mathbb P^1(\Z/N\Z) = {\varphi(N) \over 2} \times N \times \prod_{p \mid N} \Bigl( 1 + {1 \over p} \Bigr)
$$
Ci-dessus, il y a un peu de travail car il est indispensable de montrer que $\text{UM}_n(\Z) \to \text{UM}_n(\Z/N\Z)$ est surjectif du moins pour $n=2$. C'est fait à la page 2 du brouillon attaché. Ce n'est pas étranger à la surjectivité de $\text{SL}_2(\Z) \to \text{SL}_2(\Z/N\Z)$, cf page 2.
L'autre point de vue consiste à utiliser le fait que $\Gamma(N)$ est distingué dans $\Gamma(1) = \text{SL}_2(\Z)$ et donc $\overline\Gamma(N)$ est distingué dans $\overline\Gamma(1) = \text{PSL}_2(\Z)
$. Et de manière générale, si on dispose d'un groupe $G'$ qui agit sur un ensemble $X$ et d'un sous-groupe distingué $G$ de $G'$, alors $G'$ opère sur $X/G$ de manière naturelle. Explications et conséquences à la page 1 du brouillon.
En principe, cela devrait t'aider (?). J'attache 4 pages avec un nom idiot. -
Hello Claude, comment va ?
Alors, non pas terminer pour $\Gamma_0$, j'ai compris quelques trucs (avec $N=p$ comme toujours) mais je n'ai pas retrouvé les formules closes donnant le genre (celles modulo $12$). Mais j'ai une vision un peu plus claire, c'est déjà pas mal. J'ai bricolé un petit truc magma pour calculer le genre ... en comptant les points elliptiques.SL := PSL2(Integers()); p:=37; // p premier ici DomaineFond := CosetRepresentatives(Gamma0(p)); // le domaine fondamentale S := SL![ 0, -1, 1, 0]; // stabilisateur de i G := SL ! [ 1 ,1, -1, 0]; // stabilisateur de j // POINT AU DESSUS DE i non ramifié : e_2 subgr :=[ Matrix(A * S *A^(-1))[2,1] mod(p) : A in DomaineFond]; point := [a eq 0 mod(p) : a in subgr | a eq 0 mod(p)];//point; ei:=#point; // POINT AU DESSUS DE j non ramifié : e_3 subgr :=[Matrix(A * G *A^(-1))[2,1] mod(p) : A in DomaineFond]; point := [a eq 0 mod(p) : a in subgr | a eq 0 mod(p)];point; ej := #point; 1+(p+1)/12-ei/4-ej/3-2/2; // genre, il faut modifier le 2/2 a la fin en eoo /2. p+1 degré du revêtement.
Sinon, j'ai vu le problème entre $\text{SL}_2$ vs $\text{PSL}_2$;
Concernant $\Gamma(p)$ en bidouillant (i.e en essayant de deviner la réponse que je pose dans ce fil) un peu je suis tombé sur une formule $\frac{(p-5)(p-3)(p+2)}{24}$ pour le genre. Mais le soucis c'est que mon ordinateur à rendu l'âme et j'ai perdu les calculs pour arriver a ce résultat (td)
Je regarde tes indications, merci -
Claude, c'est bon compris le coup du sous-groupe normal (tu) Du coup, je dois pouvoir retrouver ma formule $\frac{(p-5)(p-3)(p+2)}{24}$ (:D
En fait, il y a une action transitive de $\overline{\Gamma}$ sur chacune des fibres de $\pi : X / G \to X / \overline{\Gamma}$.
Edit : C'est bon je retrouve ma petite formule pour $p>2$. -
Pour $N > 1$, $\Gamma(N)$ n'a pas d'élément elliptique. Tu vois pourquoi ? On peut soit invoquer la classification des éléments d'ordre fini de $\text{SL}_2(\Z)$ soit invoquer la classification générale des homographies de $\text{PGL}_2(\C)$ (types elliptique, parabolique, hyperbolique, loxodromique) et l'utilisation de $\text{tr}(A^2)/\det(A)$. Do you see what I mean ?
Bref, le calcul du genre de $X(N)$ est donc réduit au calcul du nombre $\nu_\infty$ de cusps de $\overline\Gamma(N)$. Celui-ci est :
$$
\nu_\infty = {[\overline\Gamma(1) : \overline \Gamma(N)] \over N}
$$
Le $N$ au dénominateur c'est l'ordre de $T := \pmatrix {1 & 1\cr 0 & 1}$ dans le quotient $\overline\Gamma(1) /\overline\Gamma(N)$. On a :
$$
\overline\Gamma(1) /\overline\Gamma(N) = \text {PSL}_2(\Z/N\Z) \quad \buildrel {\rm def.} \over = \quad {\text {SL}_2(\Z/N\Z) \over \{ \pm 1\}}
$$
On a déjà calculé l'ordre de $\text {SL}_2(\Z/N\Z)$ :
$$
\#\text {SL}_2(\Z/N\Z) = N^3 \prod_{p\mid N} \left(1 - {1 \over p^2}\right) = N^2 \varphi(N) \prod_{p\mid N} \left(1 + {1 \over p}\right)
$$
Si on pose $\alpha_N = \#\text {PSL}_2(\Z/N\Z)$, on a donc , pour $N > 2$ :
$$
\alpha_N = {1 \over 2} N^2 \varphi(N) \prod_{p\mid N} \left(1 + {1 \over p}\right)
$$
Pour $N = 2$, il ne faut pas diviser par $2$. Et on trouve avec la formule (dans laquelle $\nu_2, \nu_3$ sont nuls car pas d'élément elliptique) :
$$
1 + {d \over 12} - {\nu_2 \over 3} - {\nu_3 \over 4} - {\nu_\infty \over 2}
$$
le genre de $X(N)$ :
$$
g(X(N)) = 1 + {(N-6)\alpha_N \over 12 N}
$$
Bonus : pour $N = 1,2,3,4,5$, et seulement pour ces valeurs, on a $g(X(N)) = 0$. Et enfin, pour ces $N$, le revêtement $X(N) \to X(1)$ est ``connu'' :
$$
\text {PSL}_2(\Z/2\Z) \simeq S_3, \qquad
\text {PSL}_2(\Z/3\Z) \simeq A_4 \hbox { (tétraédral)}, \qquad
\text {PSL}_2(\Z/4\Z) \simeq S_4 \hbox { (octaédral)} , \qquad
\text {PSL}_2(\Z/5\Z) \simeq A_5 \hbox { (icosaédral)}
$$
Es tu fâché avec $\Z/N\Z$ ? Avec $\mathbb P^1(\Z/N\Z)$ ? Je dis cela car tu prends souvent $N = p$ premier. -
Oui, je vois pour les points elliptiques, il y a ramification au dessus de $i$ et $j$. Ma méthode c'est de regarder les termes diagonaux des stabilisateurs des points en relation avec $i$ et avec $j$ sous $\text{SL}_2(\Z)$.
> A * S * Adjoint(A) ; [ a*c + b*d -a^2 - b^2] [ c^2 + d^2 -a*c - b*d] > A * (S*T)^-1 * Adjoint(A) ; [-a*c + a*d - b*d a^2 - a*b + b^2] [-c^2 + c*d - d^2 a*c - b*c + b*d]
On ne peut pas avoir $1$ et $1$ ou $-1$ et $-1$ (modulo $p$) sur la diagonale ! Pour $i$ on le voit bien et pour $j$ en ajoutant les deux termes diagonaux on trouve $ad-bc=1$ ... faire attention a $N=2$. Mais j'ai vérifié ça roule !
Sinon, non je ne connais pas la classification générale des homographies ! Je vois les choses de manière trop complexe ?
Ah oui oui, tu as tout deviné, je suis un peu méfiant avec les $N$, les $p$ j'aime bien car ça donne lieu a des petits corps et les corps c'est bien, les anneaux j'ai peur :-D et j'aime pas non plus $2$ comme nombre premier ! Mais bon faut faire avec de toute façon !
Ce que je ne comprend pas vraiment, c'est que l'on peut faire avec cette construction :-S j'ai du me perdre un peu en cours de route ! J'ai regardé un peu le birapport en lien avec $X(2)$ mais bon je n'ai pas bien compris le lien ! -
@flip flop
Ce que tu fais n'est pas trop compliqué.
En ce qui concerne la classification des homographies de $\text{PGL}_2(\C) = \text{PSL}_2(\C)$, je n'ai rien trouvé de satisfaisant sur le web mais je ne suis pas très adroit (pour chercher). Cette classification découle du fait qu'une matrice $A \in \text {GL}_2(\C)$, non matrice scalaire, est semblable à l'une des deux matrices ci-dessous :
$$
\pmatrix {\lambda & 1\cr 0 & \lambda}, \quad \lambda \ne 0 \quad \rightsquigarrow\quad z \mapsto z + t \quad (t = \lambda^{-1})
\qquad\qquad
\pmatrix {\lambda & 0\cr 0 & \mu}, \quad \lambda \ne \mu \quad \rightsquigarrow\quad z \mapsto cz \quad (c = \lambda/\mu)
$$
Ceci a un impact sur la géométrie de l'homographie associée à $A$. ...etc... Tu trouveras peut-être des pointeurs toi-même sur le web.
En tout cas, de jolis dessins en http://people.math.aau.dk/~raussen/TALKS/cpearlso.pdf
Quant à $X(2) \to X(1)$, un début de quelque chose avec le paramètre $\lambda$ sur $X(2)$. Paramètre signifie ici que l'on a l'égalité pour le corps des fonctions de $X(2)$ : $\C(X(2)) = \C(\lambda)$. -
Claude,
je n'ai jamais regardé le groupe du cube, c'est complexe pour moi de visualiser en en 3d. Par contre, là dans ton jolie extrait ... tu réalises le cube avec les courbes modulaires. Donc si on pose des questions à un cube, on peut obtenir des réponses modulaires ( ... des congruences) ! Heu, je dis vraiment que je veux poser des questions a un cube et obtenir des réponses sous forme de congruence ...
Par exemple, le groupe des isométries directes du cube va s'identifier avec le groupe des "isomorphismes" du "morphisme" $X(4) \to X(1)$ fixant $X(1)$. Le truc, c'est que l'on connaît des "sous-morphisme" de $X(4) \to X(1)$, par exemple il y a $X(4) \to X(2)$ ou on peut faire aussi apparaître $X_0(4)$ aussi ... du coup, y a des petits calculs à faire (:D par contre, naturellement je vais devoir faire des trucs avec $p=2$ et $N=4$ ($\text{PSL}_2$ vs $\text{SL}_2$ aussi), cool c'est les trucs que j'adore :-D
Ps : en vrai mon nombre premier préféré c'est $5$, j'aime bien aussi $677$ :-)
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