Normes

Reï-Vi-Lhô

Bonsoir,

Supposons que $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie et que $D$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$ de $E$.
On note $\Pi(D)=inf_{G}||p_{D,G}||$, où $p_{D,G}$ désigne le projecteur de $E$ sur $D$ parallèlement à $G$, $||p_{D,G}||$ la norme d'application linéaire de $p_{D,G}$, $G$ décrivant l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ supplémentaires de $D$.
Est-il vrai que $\Pi_{D,G}=1$, et si oui, pourquoi ?
Pourquoi une telle question ? En fait, je suis en train de faire un sujet d'agreg externe (la composition d'Analyse, crû 1996 - question II-A-3°-c) pour ceux que cela intéresse), et dans le corrigé, l'auteur semble insinuer cette égalité (ce qui trivialise d'ailleurs carrément la question posée !).

Merci d'avance !

Amicalement.
Olivier.

Vincent7

$||p_{D,G}|| \geq 1$ avec égalité quand $G$ est l'orthogonal de $D$.

Michel21

Bonsoir Olivier,
Tout projecteur est au moins de norme 1 (cf les vecteurs de D) et il me semble que le théorème d'Hahn-Banach te permet de montrer l'éxistence d'un projecteur de norme 1 en reliant adéquatement projecteurs sur des droites (en utilisant un vecteur diecteur de D) et formes linéaires.(tout cela n'est qu'une piste...)
A +.

Eric25

Bonsoir,

C'est le theoreme de Hanh-Banach puisque D est de dim 1.
Si e est une base de D, il exuste f forme lineaire tq f(e)=1. La
projection est donnee par P(x)=f(x)e ! G=ker f !

Eric

Michel21

pour Vincent : où est "l'orthogonalité" dans un espace vectoriel normé où à priori y'a pas de produit scalaire ?!

oumpapah0

Bonsoir
réponse rapide:
p²=p ==> ||p||=||p²||<=||p||² ( car la norme est fonctionnelle)
donc si p non nul on a 1<= ||p||
et de plus si p est un projecteur orthogonal non nul on a ||p||=1
(pour visualiser ce qui précéde prendre un plan euclidien , tracer l'axe des x , le disque unité ; placer un "soleil" definissant un projecteur, concretiser la norme de p en langage "d'ombre" la norme minimum est 1 quand le soleil est au zenith , et elle s'allonge au cours del'apres midi..
et ce qui précéde reste vrai pour une norme non euclidienne
( mais dans le cas euclidien ,etre ,pour un projecteur, de norme fonctionnelle 1, caracterise un projecteur orthogonal; et si la norme n'est pas euclidienne on a un concept de "quasi orthogonalité " pour un projecteur de norme 1; cf par ex glazman et lioubitch aux editions mir de moscou :"analyse dans les espaces vectoriels de dim finie" ouvrage qui doit etre introuvable hors occasion, à ne pas rater si vous le rencontrez)
Oump.

Reï-Vi-Lhô

Bonjour à tous,

Un grand merci pour vos réponses.
Pour Eric2 et Michel : en effet, l'utilisation du théorème de Hahn-Banach était sans aucun doute - vu le sujet - attendue pour cette question.

Pour Vincent et Oumpapah : si $E$ est euclidien, je suis tout à fait d'accord (je le vois comme une conséquence du théorème de Pythagore). Par contre, je ne vois pas comment on passe au cas non euclidien. (est-ce qu'on utilise le fait que notre norme est équivalente à la norme euclidienne, puisqu'on est en dimension finie ?)

Encore merci !

Amicalement.
Olivier.