Hyperbole et tangentes

CQFD

Bonjour !

J'aimerais avoir une démonstration purement géométrique du fait que la tangente en $M$ à une hyperbole est bissectrice intérieure à $\widehat{F'MF}$.
J'ai bien une démonstration de cette propriété mais celle-ci utilise un paramétrage de l'hyperbole et des dérivations; or, c'est précisément une preuve purement géométrique que je recherche.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.

Eric Lafosse0

Que prends-tu comme définition de l'hyperbole ? une ligne de niveau avec foyer et directrice ou une section d'un cône par un certain plan ? Je pense que la démonstration va en dépendre très largement.

CQFD

L'une des deux définition suivantes : $|MF-MF'|=2a$ ou $MF=eMH$
Je sais que, à partir de $|MF-MF'|=2a$, on peut démontrer la propriété sur la tangente par dérivation d'un paramétrage de l'hyperbole (via $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$); y a-t-il un autre moyen ?
et en utilisant $MF=eMH$, y a-t-il une méthode ?
(en tout cas, pas la définition à partir de la section d'un cone)
Merci..

jean luc0

Il y a des démonstrations très naturelles (i.e. sans calculs) en partant de la définition par section des cones car la tangente à la conique est tangente à beaucoup de choses.
Il faudrait que je la retrouve ou peut-être en cherchant sur le net (théorème de Quetelet ou Dandelin).
Si j'ai un peu de temps, je chercherai.
Excuse moi, je n'avais pas lu que tu refusais les cônes.
Alors le mieux est de regarder le livre de Lebsegue sur les coniques.
JL

Bruno

Bonjour CQFD.

Voici une démonstration que j'aime bien. Il faut, préalablement, avoir démontré que si $M$ est un point d'une conique à
centre et si la tangente en $M$ coupe la directrice associée au foyer $F$ en $T$, alors l'angle $\widehat{TFM}$ est
droit (c'est une propriété fondamentale des foyers). Il faut, de plus connaître les similitudes indirectes et leurs
propriétés.

Soit donc une conique à centre de foyers $F$ et $F'$ de directrices associées $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$; et un
point $M$ de la conique; la tangente en $M$ coupe les directrices respectivement en $P$ et $P'$. Nous avons ainsi deux
triangles rectangles $PFM$ et $P'F'M$.

\textbf{Proposition}. \emph{Les deux triangles sont semblables.}

Pour le justifier, il suffit de montrer que leurs angles aigus sont deux à deux égaux. Projetons orthogonalement $M$
sur les deux directrices en $\mu$ et $\mu'$ respectivement; on peut écrire:
$$\begin{array}{rcl}
\cos{\widehat{PMF}} &= &\frac{MF}{MP} = e\,\frac{M\mu}{MP} = e\,\cos\widehat{PM\mu} \\ \\\cos{\widehat{P'MF'}} &=
&\frac{MF'}{MP'} = e\,\frac{M\mu'}{MP'} = e\,\cos\widehat{P'M\mu'}
\end{array}$$
Mais les angles $\widehat{PM\mu}$ et $\widehat{P'M\mu'}$ sont égaux. Les deux triangles sont donc semblables. Soit~$s$
la similitude qui transforme $PMF$ en $P'MF'$, en raison des égalités d'angles on a:
$$s(F) = F', \quad s(P) = P', \quad s(M) = M$$
On en conclut que la similitude $s$ est de centre $M$; le vecteur $\overrightarrow{MP}$ a pour image le vecteur
$\overrightarrow{MP'}$ d'autre part, le vecteur $\overrightarrow{MF}$ a pour image le vecteur $\overrightarrow{MF'}$ or
les angles orientés de vecteurs $(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MP'})$ et
$(\overrightarrow{MF},\overrightarrow{MF'})$ sont différents puisque $M,\ P,\ P'$ sont alignés alors que $M$ ne l'est
pas avec les deux foyers (on a supposé que la tangente en $M$ coupe les directrices). Il s'ensuit que la similitude $s$
est une \textbf{similitude indirecte}.

Comme elle a un centre, ce n'est pas une symétrie glissée et elle possède un axe. L'axe d'une similitude indirecte est
la droite sur laquelle la similitude agit comme une homothétie de rapport positif. Sur la perpendiculaire à l'axe
passant par le centre, la similitude agit comme une homothétie de rapport négatif.

\begin{itemize}
\item Si le conique est une ellipse, $M \in [PP']$, donc l'axe de $s$ est la perpendiculaire à la tangente en $M$ et on sait
que l'axe est la bissectrice des demi-droites $[MA)$ et $[Ms(A)\big)$. Donc l'axe est la bissectrice de l'angle
$\widehat{FMF'}$ et la tangente à la conique qui lui est perpendiculaire est la bissectrice extérieure de cet angle.
\item Si la conique est une hyperbole, $M \notin [PP']$ et l'axe est la tangente qui est alors la bissectrice de
l'angle $\widehat{FMF'}$.
\end{itemize}

Bruno

GPP290

Bonjour,
Superbe ...

Bruno

Bonjour GPP29.

Venant d'un connaisseur, j'apprécie.

Bruno

CQFD

Merci pour cette démonstration que je vais regarder avec interêt (il va falloir que je retrouve comme démontrer cette fameuse propriété sur les foyers et la tangente)
Pour info, j'ai essayé d'adapter à l'hyperbole la démonstration suivante valable pour l'ellipse :

Soient $T,T'\in\mathcal{T}$ tels que $\widehat{TMF}$ et $\widehat{T'MF'}$ soient strictement inférieurs à $\dfrac{\pi}{2}$.\\
Supposons par l'absurde que $\widehat{TMF}\ne\widehat{T'MF'}$. Soit $F''$ le symétrique de $F'$ par rapport à la droite $\mathcal{T}$. Alors $F,M$ et $F''$
ne sont pas alignés de sorte que la droite $(FF'')$ coupe $\mathcal{T}$ en un point $M'$ extérieur à $\mathcal{E}$.\\
Alors $M'F'+M'F=M'F''+M'F=FF''

Bruno

Bonsoir CQFD.

Je vois mal comment étendre cette démonstration à l'hyperbole, dans la mesure où l'extérieur d'une hyperbole est caractérisé par $\{M \mid |MF - MF'| 0)$ a pour équation:
$$x = \frac{a^2}c$$ La tangente au point~$M_0(x_0,y_0)$ de la conique a pour équation :
$$\frac{xx_0}{a^2} \pm \frac{yy_0}{b^2} - 1 = 0$$
le point $P$ d'intersection de la tangente avec la conique a pour coordonnées:
\begin{itemize}
\item dans le cas de l'ellipse :$$x = \frac {a^2}c \quad y = \frac{b^2\,(c - x_0)}{cy_0}$$
\item dans le cas de l'hyperbole :$$x = \frac {a^2}c \quad y = \frac{b^2\,(x_0 - c)}{cy_0}$$
\end{itemize}
Restons dans le cas de l'hyperbole, les matrices des vecteurs sont:
$$\overrightarrow{FP} :: \begin{pmatrix} -\dfrac{b^2}c \\ \frac{b^2\,(x_0 - c)}{cy_0}\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad
\overrightarrow{FM} :: \begin{pmatrix} x_0 - c \\ y_0\end{pmatrix}$$ le produit scalaire vaut donc :
$$-\frac{b^2(x_0 - c)}c + \frac{b^2(x_0 - c)}c = 0.$$

Tu peux trouver une autre démonstration dans "Les coniques" de Lebesgues uitlisant une limite de droites. Enfin, la démonstration la plus facile et la plus jolie utilise la définition des foyers comme points d'où l'on mène des tangentes isotropes à la conique.

Bruno

Alain Debreil

Bonsoir

Pour une solution {\bf purement géométrique}, voici l'extrait d'un cours de Géométrie de la classe de Mathématiques Elémentaires 1947 (TS de l'époque)

\underline{Tangente à l'hyperbole en un point}. Pour reconnaitre s'il existe une tangente en un point $M$ d'une hyperbole, nous devons rechercher si la droite qui joint le point $M$ à un point voisin $M'$ sur l'hyperbole, tends vers une position limite, quand $M'$ tends vers $M$. Il est clair que nous choisirons le point $M'$ sur la même branche de l'hyperbole que le point $M$.

Soit donc une hyperbole définie par son cercle directeur $\mathcal{F'}$ centré en $F'$ et son second foyer $F$.
Les deux points $M, M'$ sont les centres de cercles passant par $F$ et tangents en $A,A'$ au cercle directeur $\mathcal{F'}$, de façon à satisfaire $MF' - MF = rayon(\mathcal{F'})$.
Les tangentes en $A, A'$ à $\mathcal{F'}$ se coupent en $I$, qui a même puissance par rapport aux trois cercles.
L'axe radical des deux cercles de centre $M, M'$ est donc $FI$, et cette droite est perpandiculaire à la sécante $MM'$ joignant les centre de ces deux cercles.

Si $M'$ tend vers $M$, alors $A'$ et $I$ tendent vers $A$, $FI$ tend vers $FA$.
La droite $(MM')$ a donc une position limite qui est la perpendiculaire menée de $M$ à $FA$.
Comme $FA$ est une corde d'un cercle de centre $M$, cette droite est la médiatrice du segment $[FA]$, ainsi que la bissectrice intérieure de l'angle des rayons vecteurs $(MF, MF')$ du point $M$.


PS1: J'aurais été bien incapable (hélas) de me souvenir d'une telle démonstration malgré tout assez simple ! Je n'ai fait que recopier le bouquin !

PS2: C'est beau la géométrie !

Alain

CQFD

Merci Alain
J'ai une démonstration analogue pour la parabole et je n'ai pas eu l'idée de l'adapter à l'hyperbole via les cercles directeurs...
Merci encore

Bruno

Jolie figure Alain.

Cette démonstration, je la connais : mon prof me l'avais faite quand j'étais en TM ("technique mathématique", l'analogue de "math élem" en lycée technique) et elle était tout à fait dans l'esprit de la géométrie du lycée de l'époque. Je l'ai bannie de mon arsenal en raison de l'utilisation des limites de droites, notion tout à fait convenable mais politiquement incorrecte. Bien entendu, elle fonctionne parfaitement pour les deux coniques à centre ainsi que pour la parabole comme le notais CQFD.



Bruno