Action de groupe

Bonsoir,

Je m'emmêle les pinceaux. SI quelqu'un peut me venir en aide ;-)

Soit $X$ un ensemble, $G$ un groupe agissant sur $X$ et $H$ un sous-groupe de $G$ (normale si ça aide).

Je considère l'application quotient au niveau des orbites : $$ \pi : X / H \to X/ G$$
Je voudrais savoir si on a une description des fibres $\pi^{-1}(x)$.

Dans mon contexte, $H$ est un sous-groupe d'indice fini et distingué dans $G$.

Merci d'avance,

Réponses

  • Je ne vois pas quoi dire à ce niveau de généralité à part que le cardinal de chaque fibre divise l'indice de $H$ dans $G$ (pas besoin d'un sous-groupe distingué).
  • Je ne sais pas si ça peut t'aider mais je trouve que pour tout $x$ dans $X$,
    $$[G:H]\times \mathcal{O}_H(x)=[G_x:H_x]\times\mathcal{O}_G(x).$$
  • Bonsoir,

    Sauf erreur de ma part.
    Je définis : $ \pi_H \ : \ X \to X/H $ par : $ \pi_{H} (x) = O_H (x) $
    Je définis : $ \pi_G \ : \ X \to X/G $ par : $ \pi_{G} (x) = O_G (x) $
    On a : $ \pi^{-1} ( O_{G} ( x ) ) = \pi^{-1} ( \pi_G (x) ) = \pi^{-1} ( \pi ( \pi_H (x) ) ) \subset \pi_H (x) = O_H (x) $
    C'est à dire : $ \pi^{-1} ( O_{G} ( x ) ) = O_H (x) $.
    Car : $ \pi_H = \pi \circ \pi_G $ ( Diagramme commutatif).
    Ce n'est pas ce que tu cherches ?
  • En fait on a besoin que le sous-groupe soit distingué pour que le cardinal des fibres divise l'indice.
  • Merci vous trois ! Bon la divisibilité c'est déjà pas mal comme information je tombe sur le même genre de formule que Gai requin
    $$ \# \text{Fibre } \times \mid \text{Stab}_G(x) / \text{Stab}_H(x)\mid= \mid G/H \mid $$

    Par contre, ça m'embête un peu j'ai du faire un erreur dans un autre calcul :-D

    @Pablo, j'ai compris ce que tu as dit a peu près ... mais, j'ai eu du mal à exprimer ma question. Si je considère $G:=(\Z / 2\Z,+)$ qui agit sur l'ensemble $\{0,1\}$ par le morphisme $\Z / 2\Z \to \mathfrak{S}( \{ 0,1\}$ qui à $0$ associe l'identité et à $1$ associe l'échange de $0$ et $1$ (ouf, c'est un foncteur non ?)

    Tu es d'accord que l'espace des orbites sous $G$ est réduite à un point. Par contre, l'espace des orbites sous $\{0\} \subset \Z/2\Z$ est de cardinal $2$ ... c'est $\{\textbf{0},\textbf{1} \}$.

    En gros j'ai l'application $ \pi$ que je peux schématiser par :
    $$ \xymatrix{
    \textbf{0} \ar[rd] &&\textbf{1} \ar[dl] \\
    &\textbf{0} &
    }$$
    En haut j'ai $X/H$ et en bas j'ai $X/G$. Ma question était est ce que je peux comprendre le nombre de de points en haut en fonction $G$ et de $H$ .. ... ici j'ai deux points au dessus de $\{\textbf{0}\}$ et ce qu'il faut voir c'est si le nombre de point est divisible par par l'indice de $H$ dans $G$.
  • C'est la même formule que toi que j'ai.
  • Par contre je n'ai pas de contre-exemple si le sous-groupe n'est pas distingué. Je ne connais pas assez les groupes en pratique.
  • Hello,

    Si on considère l'action naturelle de $G := \mathfrak{S}_3$ sur $X:=\{1,2,3\}$, alors en considérant le sous-groupe $H$ engendré par le cycle $(1 \, 2)$.

    Alors l'indice de $H$ dans $\mathfrak{S}_3$ est $3$ et pourtant $X/ G$ est de cardinal $1$ et $X/H$ est de cardinal $2$.
  • Sinon, pour s'amuser un peu.

    On peut prendre $\text{SL}_2(\mathbb{F}_2)$ qui agit sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_2)$.

    On peut faire un peu de dénombrement :

    1/ Cardinal de $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_2)$.
    2/ Cardinal de $\text{SL}_2(\mathbb{F}_2)$.

    L'espace des orbites est un singleton ... $\{\infty\}$.

    Maintenant, je prend $H := \left\{ \begin{pmatrix}

    1&0\\

    0&1

    \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}

    1&1\\

    0&1

    \end{pmatrix}

    \right\} \subset \text{SL}_2(\mathbb{F}_2)$, et il y a deux orbites $\{ \textbf{0},\infty\}$.

    Le sous-groupe $H$ est distingué dans $G$ et il est d'indice $3$. Vraiment distingué ??? Merci Claude

    Tu en penses quoi Champ-Pot-Lion ??? Tu y vois quelque chose avec ta $\pi r^2 \rho \zeta$ ?

    @gai requin : Tu trouves pas que ça ressemble au truc d'hier avec $N=2$ l'action de $\text{SL}_2(\Z)$ sur $\mathbb{P}^1(\Q)$ :)o
  • Salut flipflop.

    [Ici], tu as trouvé un contre-exemple à $\# \text{Fibre } \times \mid \text{Stab}_G(x) / \text{Stab}_H(x)\mid= \mid G/H \mid.$
    Right ?

    Mais ma formule $[G:H]\times \mathcal{O}_H(x)=[G_x:H_x]\times\mathcal{O}_G(x)$ (quand $X$ est fini) tient toujours. B-)-

    J'ai réfléchi à cette histoire de fibre ce matin avant mon match de tennis mais je n'ai pas trouvé de formule...
  • Yes Gai requin, d'ailleurs mon deuxième exemple et exactement le même (il me semble) :-D

    Gagné le match ???

    Il me faut une pause :-D
  • @gai raquin : Cette formule est valable pour les sous-groupes distingués. Si le sous-groupe est distingué, chaque fibre va contenir le même nombre de classes d'équivalences de $G$ modulo $H$. Il faut regarder l'action de $G/H$ sur $X/H$. Mais ta formule est tout le temps valide.

    @flipflop : On a $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong \mathfrak{S}_3$, c'est exactement la même situation que ton autre exemple, n'est-ce pas ? edit : Ok, j'avais pas vu ton message, il faudrait que je recharge la page quand je réponds après un certain temps.
  • Oui oui, je m'en suis rendu compte après :-D

    Et en fait, c'est peut être aussi la même que l'action ici avec $N=2$. Mais je n'y voit plus clair ... :-D
  • Bon un truc du style :
    $H$ est sous groupe d'incice fini de $G$.
    $$
    \mid G / H \mid = \sum_{t \in \pi^{-1}(x) }\mid \text{Stab}_G(x) / \text{Stab}_H(t) \mid
    $$
    Ça a une belle tête je trouve !
    Edit : merci Gai requin !
    On considère $G := \text{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ (de cardinal $24$) qui agit sur transitivement sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$. Et on considère $H$ le sous-groupe des matrices triangulaires supérieurs inversibles.

    Alors $\text{SL}_2(\mathbb{F}_3)$ agit transitivement sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$ donc $\text{Stab}_G(\infty)$ est de cardinal $\frac{24}{4}=6$ et en fait ce stabilisateur est égal à $H$ : donc un indice $6 / 6 = 1$.

    Le stabilisateur de $0$ est aussi de cardinal $6$ sous $G$ mais sous l'action de $H$ on a un stabilisateur de cardinal $2$ et donc un indice de $6/2=3$.

    On peut représenter les choses comme ça :
    $$\xymatrix{

    (\infty)_{1} \ar[rd] &&(0)_{3} \ar[dl] \\

    &(\infty) &

    }$$
    Et la somme des indices est égal à $4$ l'indice de $H$ dans $G$. J'aime bien :-D
  • Je croyais qu'on avait $[G:H]=3$ pour cet exemple.
  • hum, mince je pense que j'ai fais avec $\text{SL}(\mathbb{F}_3)$ ... sur le plan $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_3)$.
  • Et comment as-tu choisi $H$ alors ?
  • Merci ! J'ai mis à jour, $H$ les matrices triangulaires supérieurs inversibles ... $6$ matrices.
  • Et on a aussi $1+3=\#\mathbb P^1(\mathbb F_3)$ ! (qui est la droite et pas le plan projectif ;-)).
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