Inégalité des accroissements finis centrée

$$
\forall (x,y) \in \left]-1,1\right[^2,\quad |f(x) - f(y)| \leq |f'(\tfrac{x+y}2)| \, |x-y|.
$$
Sauriez-vous caractériser simplement les fonctions dérivables qui vérifient cette condition ?

Ou plus modestement, sauriez-vous justifier de manière élégante que $f = g^2$ convient si on prend $g$ une fonction paire et deux fois dérivable telle que $\forall x \in \left]-1,1\right[,\ g(x)g''(x) = -1$ ?

Edit : limitation du domaine à $\left]-1,1\right[$.

Réponses

  • Salut,

    Aurais-tu un exemple (explicite) qui ne soit pas une fonction affine ?

    Cordialement.
  • La fonction $x \mapsto x^2$ ?
  • Merci et un exemple, sans égalité (en lieu et place de l'inégalité).
  • L'intuition que j'en ai, c'est que l'on aurait des chocs élastiques, si on déviait de l'égalité dans un sens (par défaut) on finirait forcément par dévier de l'égalité dans l'autre (par excès), donc c'est ce qui me fait penser (peut-être à tort) que l'on doit toujours avoir l'égalité.
  • Bonjour @Siméon,

    L'énoncé déclare que la fonction $f$ est dérivable (une fois). Donc il faut démontrer que la fonction est dérivable deux fois au moins pour établir la relation avec la fonction $g.$

    Croissance :
    Si on simplifie le problème en ajoutant une contrainte : la fonction $f$ est croissante, alors on trouve en prenant $x=0$ puis $y=0$ que : $\forall t \in \R, f(t) - f(0) = f'({t \over 2}) t.$

    Cette équation admet comme solution tout polynôme de degré $2$ : $f(t) = a_0+a_1 t + a_2 t^2.$ Mais pour que la fonction $f$ soit croissante, il faut imposer $a_2=0, a_1 \geq 0$ : on trouve donc une fonction affine croissante.

    Décroissance :
    Si la fonction $f$ est décroissante, alors on tombe sur la même équation : $\forall t \in \R, f(t) - f(0) = f'({t \over 2}) t.$ Et donc sur une fonction affine décroissante.

    Polynôme :
    On a donc l'idée de vérifier si un polynôme de degré $2$ est solution. Et la réponse est positive : tout polynôme de degré $2$ vérifie l'équation.
    On vérifie qu'un polynôme de degré $3$ ne convient pas.

    Comme un polynôme de degré $2$ est convexe, on peut vérifier si la fonction $f$ n'est pas caractérisée par une convexité...
  • Salut,

    @Yves : je remarque que tous tes exemples vérifient l'égalité, si tu as un exemple sans égalité je suis preneur.

    Cordialement.
  • @YvesM : je suis d'accord avec toi, il y a visiblement une histoire de convexité là-dessous.

    @pourexemple : je viens de remplacer $\R$ par un domaine borné. Dans ce cas, il existe bien une fonction $g$ paire, deux fois dérivable, telle que $gg'' = -1$. La fonction $f=g^2$ vérifie l'inégalité mais pas l'égalité.
  • @Siméon : donc dans le cas $\R$ notre affaire est réglée, pour $]-1,1[$ peux tu expliciter cette fameuse fonction ?

    Merci.
  • @contrexemple. Puisque tu y tiens, $g : x\mapsto G'(G^{-1}(x))$ avec $G : x\mapsto \int_0^x e^{-t^2/2}dt$.

    P.S. Je ne vois pas où le cas de $\R$ a été réglé.
  • Si on suppose $f$ bien régulière et qu'on suppose $f'(0)>0$ on a pour $h$ petit $\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f'(t) dt \leq f'(0)$, si $f'$ est affine on a égalité donc à priori $f''$ peut être ce qu'on veut mais en revanche on obtient une condition sur $f'''$ : elle doit être négative en $0$. On peut refaire la même chose partout où $f'$ est non nulle. En un point ou $f'$ vaut $0$ on sait que $f$ doit être impaire autour de ce point. Bref ça donne au moins une condition nécessaire locale.

    Visiblement il ne s'agit pas d'une condition suffisante puisque d'après YvesM $x\mapsto -x^3$ ne convient pas.
  • @Siméon :

    1/ Et pourquoi ta fonction $g$ ne vérifie pas l'égalité ?

    2/Citation Siméon :
    Je ne vois pas où le cas de R a été réglé.

    C'est comme cela que j'ai interprété le changement d'intervalle de $\R$ en $]-1,1[$
  • @pourexemple : plus simplement, tu peux prendre $f = \sin$. Elle vérifie la condition sur $\R$ tout entier avec, par exemple, l'inégalité stricte $|\sin(\frac\pi2) - \sin(-\frac\pi2)| < \pi\, |\cos(0)|$.

    @mojojojo. Merci, on avance un peu avec tes deux conditions nécessaires :
    • $\forall x,\ f'(x)f'''(x) \leq 0$.
    • Si $f'(x) = 0$, alors $t \mapsto f(x+t)$ est paire.
    La première règle essentiellement le cas monotone. Qui dit mieux ?
  • siméon a écrit:
    La première règle essentiellement le cas monotone.

    Ah bon ?

    Petit détail supplémentaire, si $f'$ admet 2 zéros alors elle est periodique et a donc une infinité de zéros (cela vient du fait qu'elle doit être impaire au tour de chaque zéro). Je n'ai pas très envie de me lancer dans l'analyse de la série de Fourier d'une telle fonction mais peut être que quelqu'un sera plus motivé que moi 8-)
  • @mojojojo. Si $a \leq b$, $c = \frac{a+b}{2}$ et si $f$ est croissante avec $f'$ concave, alors :
    $$
    0 \leq f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx \leq \int_a^b (f'(c) + f''(c) (x-c))dx = f'(c) (b-a).
    $$
    Pour la périodicité, il me semble que ça fonctionne mal sur un domaine borné. Mais ça me va si tu préfères commencer par $\R$ tout entier. Par continuité, on obtient alors que les zéros de $f'$ sont isolés pour $f$ non constante.

    Regardons peut-être déjà ce qui se passe quand $f'$ s'annule une seule fois.
  • Effectivement j'avais raté ça, merci Siméon !

    Je ne sais pas si le problème est plus simple sur $\mathbf R$ ou sur $]-1;1[$ à vrai dire, ni même si la résolution de l'un implique la résolution de l'autre. C'était juste pour dire que sur $\mathbf R$ on a 3 cas possibles :
    -$f'$ ne s'annule pas (et comme tu l'as dit, on a une CNS)
    -$f'$ s'annule exactement une fois
    -$f$ est périodique et on peut espérer une solution côté analyse de Fourier ?

    D'où vient la question au fait ?
  • Salut,

    Je travaille sur $\R$, c'est le plus facile.

    $f,g$ vérifiant la propriété, avec $f$ croissante convexe et $g$ concave.
    $$|f(g(x))-f(g(y))| \leq |f'(\frac{g(x)+g(y))}{2})||g(x)-g(y)|\leq |f'(\frac{g(x)+g(y))}{2})| \times |g'(\frac{x+y}{2})|\times |x-y|\leq |f'(g(\frac{x+y}{2}))|\times |g'(\frac{x+y}{2})|\times |x-y|$$

    donc $f \circ g$ vérifie la propriété.

    Cordialement.
  • En fait si $f$ croissante convexe alors $f$ à la bonne propriété.
  • Si $\Phi$ positive et concave.

    Alors en utilisant l'inégalité de Jensen ($a<b$)

    $$\Phi(\frac{1}{b-a}\int_a^b x\text{d}x) \geq \frac{1}{b-a}\int_a^b \Phi(x)\text{d}x$$
    donc $$\Phi(\frac{a+b}{2})(b-a) \geq \int_a^b \Phi(x)\text{d}x $$

    donc si $\phi$ concave positive alors les primitives de $\phi$ ont la propriété souhaité.

    PS : Si $\phi$ négative et convexe, cela marche également, on a l'intégrale de $\phi$ avec la bonne propriété.
  • Salut,

    Ainsi on a une CNS

    En effet, on vérifie que l'inégalité est, alors localement respecté, l'égalité est alors (sûrement) globalement respectée

    Cordialement.
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