Série $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2}$

Harastieu

Bonjour, je dois dans un exercice, calculer $ \displaystyle { \sum_{n \geq 1}^{}}\frac{1}{n^{2}}$ .
Au préalable on nous demande de calculer $ c_{n}(t)=\displaystyle { \sum_{k=1}^{n}}\cos(kt)$ avec $t$ réel de $]0;\pi]$.
Je trouve donc $ c_{n}(t)=\cos(\frac{(n+1)t}{2})\dfrac{\sin(\frac{nt}{2})}{\sin(\frac{t}{2})}$

La seconde question est : on pose $c_{n}(0)=n$ démontrer qu'alors $c_{n}$ est continue sur $[0;\pi]$.

Et là je bloque.. comment faire pour démontrer ceci ?
Cordialement,
Matthieu

gebrane

$c_n$ est continue sur $]0,\pi]$, il te reste à étudier la continuité en 0, donc essaie de montrer que sa limite en 0 est n

Utilisateur anonyme

ton truc vaut $\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$ ... et pour la continuité de ton bidule, tu appelles L'Hospital ...

Champ-Pot-Lion

On peut faire plus simple que l'Hospital.

pldx1

On a $\dfrac{\sin(\frac{nt}{2 })}{\sin(\frac{t}{2})} \underset {t \rightarrow 0} \longrightarrow n $ parce que telle est la définition légale du radian. Autrement dit, c'est comme cela parce que l'on a fait exprès qu'il en soit ainsi.

Foys

Si $f,g$ sont dérivables en $0$, $f(0)=g(0)=0$ et $g'(0)\neq 0$, il découle immédiatement de la définition de la dérivée avec une limite, que $\frac{f(t)}{g(t)} \underset{t \to 0, t \neq 0}\longrightarrow \frac{f'(0)}{g'(0)}$ .

Champ-Pot-Lion

@Harastieu : Je crois que tu t'es trompé dans ta formule pour $c_n$, mais elle tend bien aussi vers $n$ donc je ne sais pas trop ce qu'il se passe. Numériquement ça ne donne pas le bon résultat.

@pldx1 : J'ai pas compris. On peut sûrement définir pi de plein de manières, et puis ici c'est vrai pour n'importe quelle fonction dérivable et nulle en $0$ : on a $\frac{f(a x)}{f(b x)}$ qui tend vers $a/b$ en $0$. Déjà dit.

gerard0

Bonjour Harastieu.

Soit $g_n$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $g_{n}(t)=\displaystyle { \sum_{k=1}^{n}}\cos(kt)$ Comme somme de fonction continues, $g(n)$ est continue, et de façon évidente $g_n(0)=n$. Enfin $c_n$ est la restriction de $g_n$ à $]0;\pi[$. Ce qui règle la question de la continuité en 0 (et en $\pi$).

Autrement dit, un énoncé qui complique (pour perturber l'élève ?) une situation simple !

Cordialement.

NB : Dans l'énoncé initial ($c_{n}(t)=\displaystyle { \sum_{n=1}^{n}}\cos(kt)$), l'indice de sommation est k, pas n.

pldx1

On a: $$\sum _{k=1}^{n}\cos \left( kt \right) =-1/2+1/2\,{\frac {\sin \left( n
t+t/2 \right) }{\sin \left( t/2 \right) }}$$

Comme ce résultat a été obtenu par sommation de la suite géométrique $\exp (ikt)$, il est raisonnable de se demander si, par malchance, l'égalité ne se serait pas perdue lorsque la raison vaut $1$, c'est à dire lorsque $t=0$. On utilise alors que $${\frac {\sin \left( nt+t/2 \right) }{\sin \left( t/2 \right) }} \underset {t\rightarrow 0} {\longrightarrow} {\frac { n+1/2 }{ 1/2 }}$$ parce que telle est la définition légale du radian. Au cas où il serait utile d'être moins elliptique, on peut aussi délayer tout cela en:

$${\frac {\sin \left( nt+t/2 \right) }{\sin \left( t/2 \right) }}={\frac { nt+t/2 }{ t/2 }}\times
{\frac {\sin \left( nt+t/2 \right) }{\left( nt+t/2 \right) }} \div {\frac {\sin \left( t/2 \right) }{ \left( t/2 \right) }}


$$

Cordialement, Pierre.

Champ-Pot-Lion

Mais l'égalité ne peut pas être perdue, les deux fonctions sont égales et donc ont même limite en $0$. Je ne comprends toujours pas le rapport avec la définition (légale ?) du radian. On utilise quelque chose de vrai pour toutes les fonctions dérivables nulles en $0$. Même si on prenait le sinus en degrés la limite de $\frac{\sin(nt)}{\sin(t)}$ en $0$ serait toujours $n$.

pldx1

Dire que la limite de $\frac {sin(t)} t $ vaut $1$ pour $t\rightarrow 0$ parce que la limite du quotient des dérivées tend vers $1$ est un gag célèbre. Mais cela n'en reste pas moins un gag. Pourquoi aurait-on $\sin' = \cos$ ? Eh bien parce que $$
\frac{\sin(x+h)-\sin(x-h)}{2h} = \cos x \times \frac {\sin h}{h}$$

Et alors la limite vaut $\cos x$ parce que tourner en rond est approprié pour les fonctions circulaires ?

Cordialement, Pierre.

Foys

-L'affirmation

Si $f,g$ sont dérivables en $0$, $f(0)=g(0)=0$ et $g'(0)\neq 0$, il découle immédiatement de la définition de la dérivée avec une limite, que $\frac{f(t)}{g(t)} \underset{t \to 0, t \neq 0}\longrightarrow \frac{f'(0)}{g'(0)}$ .

est un théorème de maths pour toutes fonctions $f,g$ et donc a fortiori pour $f:x\mapsto \sin(x)$ et pour $g:x \mapsto x$.

Quel est le rôle joué par le choix particulier d'une mesure d'angle pour calculer la limite de $t\mapsto \frac{\sin(nt)}{\sin(t)}$ quand $t\to 0$?

On a évidement pour tout $a \in \R^*$, $$\lim \limits_{t \to 0} \frac{\sin(nt)}{\sin(t)}=\lim \limits_{t \to 0} \frac{\sin(ant)}{\sin(at)}$$

Harastieu

Effectivement, merci de votre aide, j'ai bien trouvé une limite égal à n quand t --> 0

( @Champ-Pot-Lion j'avais effectivement fait une petite erreur dans mon cosinus ce n'étais pas $\cos(\frac{nt}{2})$ mais bien $\cos(\frac{(n+1)t}{2})$ !


Par contre on pose maintenant $ W_{n}= \displaystyle { \sum_{k= 1}^{n}}\frac{1}{k^{2}}$ .

Il faut alors montrer que $ W_{n} = \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)c_{n}(t)\, \mathrm{d}t$

Des idées ?

Cordialement,

Matthieu

gerard0

Intégrer par parties $(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)\cos(kt)$ ?

Cordialement.

Utilisateur anonyme

ok, je vois que tu as appris le $\TeX$ en 3 jours ... juste un petit conseil, tape \cos au lieu de 'cos' tout court ... (pareil pour \sin, \tan, \ln et tous leurs copains) ...

Harastieu

@gerard0 Effectivement ça marche en faisant deux intégrations par parties, merci !

@ezmaths Oui pardon, je viens tout juste d'apprendre le LaTeX excusez moi, merci du conseil pour le cosinus ;-)

Cordialement,

Matthieu

pldx1

@Foys. A nouveau: Pourquoi aurait-on $\sin' = \cos$ ? Eh bien parce que $$
\frac{\sin(x+h)-\sin(x-h)}{2h} = \cos x \times \frac {\sin h}{h}$$

Et alors la limite, qui est la dérivée en $x$ de la fonction $\sin$, vaut $\cos x$ parce que tourner en rond est approprié pour les fonctions circulaires ?

Cordialement, Pierre.

Champ-Pot-Lion

Je crois qu'on tourne en rond. C'est pas banal, ça.

Harastieu

Je dois maintenant montrer que $W_{n} =\frac{\pi^{2}}{6}-\frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{\pi}(t-\frac{t^{2}}{2\pi})\frac{1}{\sin(\frac{t}{2})}\sin(\frac{2n+1}{2}t)\, \mathrm{d}t $

J'ai donc transformé mon expression de $ \displaystyle { \sum_{k=1}^{n}}\cos(kt)$ que j'ai trouvé en utilisant des propriétés trigonométriques

et je tombe alors sur $\displaystyle { \sum_{k=1}^{n}}\cos(kt)=-\frac{1}{2}+\frac{\sin(\frac{2n+1}{2}t)}{2\sin(\frac{t}{2})}$

ce qui en l’intégrant à $W_{n}$ donne :

$W_{n} = \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2\sin(\frac{t}{2})}\sin(\frac{2n+1}{2}t)\, \mathrm{d}t $ ce qui est malheureusement différent de ce que je dois trouver... pour quel raison ?

Cordialement,

Matthieu


P-s : Je suis désolé de vous embêter avec mes questions ..

gerard0

Heu ... le $-\frac 1 2$ était additionné !!!

Harastieu

Effectivement, erreur de rigueur de ma part !

Mais je bloque quand même ...

gerard0

Pourtant, en faisant le bon calcul, pas de problème ! Fais-le !

Harastieu

Je n'y arrive pas .. enfin, je ne vois pas ou faire sortir un $\frac{\pi^{2}}{6}$ ni de quel manière effectuer le calcul ...

gerard0

Ben ... reprends ton calcul : tu remplaces $c_n(t)$ par une somme. C'est assez classique de développer le produit et tout aussi classique de décomposer en deux intégrales !!

A noter : $W_{n} = \displaystyle \int_{0}^{\pi}(\frac{t^{2}}{2\pi}-t)(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2\sin(\frac{t}{2})}\sin(\frac{2n+1}{2}t)\, \mathrm{d}t$ (dans ce message) est faux !!

Foys

@pldx1:
J'ai dit que si $f(t)=\sin(t)$ pour tout $t\in \R$, $g(t)=t$ pour tout $t \in \R$, et si $f,g$ sont dérivables en $0$, $g'(0) \neq 0$ et $f(0)=g(0)=0$ alors $\lim \limits_{t \to 0} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim \limits_{t \to 0} \frac{f'(t)}{g'(t)}$. Cette affirmation est fausse peut-être?.


Le présent sujet tournait plutôt autour du comportement de $t \mapsto \frac{\sin(nt)}{\sin(t)}$ (d'autres fonctions). J'ai considéré que la dérivabilité de $\sin$ et la valeur de sa dérivée étaient des choses connues (acquis chez les élèves dès que ce genre de fonction trigonométrique sophistiquée est abordée(*)). Ce n'est pas parce qu'un énoncé particulier est inutilisable dans une preuve particulière qu'il se met à être magiquement invalide. Ca me fait penser à un proche qui croyait que "$X\implies X$ est une faute de raisonnement car c'est une tautologie". La fausse rigueur étriquée fait des ravages partout, surtout chez les gens qui n'ont jamais fait de théorie de la démonstration.

Pour ce qui est de (*) j'en parle ici:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1383346,1387126#msg-1387126
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1383346,1386954#msg-1386954
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1383346,1386956#msg-1386956
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1383346,1385640#msg-1385640

pldx1

@Harastieu

Que trouves-tu comme différence entre la valeur de $W_n$ que tu connais et celle que tu dois démontrer ?

Harastieu

@gerard0 Je ne comprends pas où est ma faute dans ce que j'ai écrit ? J'ai juste mis l'expression que j'avais trouvée dans l'intégrale ?


@pldx1 Et bien je n'ai pas de $-\frac{1}{2}$ quand j'essaye de résoudre ?

pldx1

On pose
$$ W_{1;n} \doteq \displaystyle \int_{0}^{\pi} \left(\frac{t^{2}}{2\pi}-t \right) \left[
{\frac {\cos \left( 1/2\, \left( n+1 \right) t \right) \sin \left( 1/2\,nt \right) }{\sin \left( t/2 \right) }}
\right] \, \mathrm{d}t$$
$$W_{2;n} \doteq \frac{\pi^{2}}{6}-\frac{1}{2} \displaystyle \int_{0}^{\pi} \left(t-\frac{t^{2}}{2\pi}\right)\frac{1}{\sin( \frac{t}{2})}\sin \left(\frac{2n+1}{2}t \right)\, \mathrm{d}t $$

La première expression est la valeur que tu as trouvée. Je me suis permis de remplacer $c[n](t)$ par la valeur que tu as donnée précédemment. J'ai même essayé de ne pas faire d'erreurs de copie.
La deuxième expression est celle que tu dois démontrer. Et zalors, ta mission, si tu veux bien l'accepter, est de montrer que la différence est nulle.

Cela dit, j'ai donné ci-dessus une autre écriture pour $c[n](t)$. Les deux écritures sont correctes, mais dans celle que j'ai donnée, une partie du travail est déjà faite.

Cordialement, Pierre.

gerard0

Harastieu a écrit:

Je ne comprends pas où est ma faute dans ce que j'ai écrit ?

C'est simplement que tu n'as pas remplacé $c_n$ par sa valeur. Tu as écrit tout ce qui est dans $c_n$, morceau par morceau, mais pas fait le calcul ! C'est inquiétant, à ton niveau, de ne pas savoir multiplier une somme !

Si tu faisais sérieusement les calculs, sans inventer les résultats, tu aurais fini depuis longtemps et seul !!

Harastieu

Effectivement, j'ai réussi .. sans doute la fatigue ! Désolé pour mes erreurs et merci de votre aide.

Cordialement,

Matthieu

pldx1

On a donc $$\sum_{k=1}^{n} \frac 1 {k^2} = \frac{\pi^{2}}{6} -
\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac { \frac t 2 \left(1-\frac{t}{2\pi}\right)} {\sin( \frac{t}{2})} \times \sin \left(\frac{2n+1}{2}t \right)\,
\mathrm{d}t $$

Le premier facteur de l'intégrande est une fonction continue sur $[0,\pi]$. Le deuxième facteur est ... comme il est. N'y aurait-il pas une suite à ce calcul ?

Par ailleurs: que peut-on faire, dans le même genre d'idées, avec $\sum 1/k^4$ ?

Cordialement, Pierre.