Variétés

Bonjour, je viens de commencer à étudier ce que l'on appelle les variétés (appelées parfois variétés différentiables d'après ce que j'ai pu voir) et j'ai un peu de mal à comprendre la définition :

Une variété de classe $C^k$ et de dimension $n$ est un espace topologique séparé $M$ muni :
1) d'un recouvrement par des ouverts $(U_i)_{i\in I}$,
2) et d'homéomorphismes $\phi : U_i \to \phi(U_i)\subset \R^n$ tels que pour tous $i,j$ :
$U_i \cap U_j \ne \emptyset \Longrightarrow \phi_i \circ \phi_j^{-1} : \phi_j(U_i \cap U_j) \to \phi_i(U_i \cap U_j)\ {\rm est}\ C^k$
.

J'ai donc voulu prendre un exemple simple pour mieux comprendre, mais j'ai du mal.
Par exemple, comment montrer que le cercle $S^1\subset \R^2$ est une variété ? Et comment trouver sa dimension ?

Réponses

  • Pour $\mathbf{S}^1$, il suffit de prendre deux cartes : Si $P_1=(0,1)$ et $P_2=(0,-1)$ sont les <<pôles>>, prendre
    $U_i=\mathbf{S}^1 \setminus P_i$ et pour $\phi_i$ la projection stéréographique de pôle $P_i$.
    Si $u\in \mathbf{S^1}$, il appartient à l'un au moins des deux ouverts $U_i$ et $\Phi_i (u)$ est le point d'intersection de la doite $(P_i,u)$ avec l'axe réel. Il est indispensable de faire des dessins!
  • Donc on choisit d'abord les cartes (couple ouvert-homéo) puis il faut vérifier quoi ?
    J'ai un peu du mal à voir ce qu'il faut montrer avec tout ce formalisme dans ma définition.
  • Que les fonctions de transition $\phi_i\circ\phi_j^{-1}$ sont de classe $C^k$, comme il est bien dit dans ta définition.
  • Dans le cas de $\mathbf{S}^1$, il vous faut vérifier que $\Phi_i \circ \Phi_j^{-1} : \mathbf{R} \to\mathbf{R}$ est un $\mathcal{C}^k$ difféomorphisme (ici $k=+\infty$)
  • Ok, merci pour ces précisions, j'essaie de voir d'autres variété pour m'entraîner, merci ;-)
  • Bonjour
    Comment vous introduisez dans vos cours cette notion de variétés edit différentielles pour capter la motivation de vos etudiants
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • si tu choisis géométrie différentielle, la question ne se pose pas puisque les manifolds sont naturellement les objets avec lesquels tu joues ... de l'autre côté, celui des variétés algébriques, un coup de topologie de Zariski préalable est requis ...
  • @ezmaths
    Je suis un étudiant dans ton amphi, tu vas capter mon intérêt comment?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • pas difficile : si tu n'es pas intéressé (et que tu te viandes à l'examen), tu es recalé B-)- ...
    plus sérieusement, c'est comme au Subway (vous pouvez bénéficier d'une réduction grâce au code #**** en nous like -ant sur facebook) : tu es un grand garçon donc tu choisis tes modules i.e. généralement, tu prends ceux qui sont sympas (ou que la prof. et / ou la chargée de TD sont mignonnes) ...
  • @gebrane0 : tu n'as jamais eu envie de définir des fonctions $C^k$ ou $C^\infty$ entre des surfaces (ou autres espaces topologiques) ? Tu n'as jamais eu envie des les intégrer ? Comment décrire une équation différentielle sur une surface ? Tu ne t'es jamais demandé comment mesurer des distances sur des surfaces (bon d'accord, je me rapproche plus des variétés riemanniennes là mais faut quand même partir des variétés différentielles) ? C'est quoi une géodésique, c'est quoi une courbure ? Si c'est le cas, alors "Géométrie différentielle 101" est fait pour toi (tu) En pratique, on est vite limité quand on fait de l'analyse dans $]a,b[^d$ seulement.
  • @skyffer3 : je signe où pour suivre ton cours ? (tu)
  • waw skyffer je m'inscris à tes cours si une place est de libre
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Avant de signer tu peux attendre que j'étudie le sujet. Oui oui, je suis très fort pour parler de ce que je ne connais pas (on apprend ça en école d'ingés :-D). Disons que cela fait 3 ans que je me dis régulièrement que je devrais étudier sérieusement la géométrie différentielle et riemannienne, et cela fait 3 ans que je regarde deux trois trucs par ci par là de temps en temps mais qu'en fait je n'ai encore jamais suivi le moindre poly sérieusement ... :-S Pas le temps d'apprendre tout ce que je veux avec le boulot.

    Rien qu'en probas je suis loin du niveau que je voudrais, puis viendrait l'analyse fonctionnelle, et ensuite la géométrie diff, bref, revenez dans 15 ans :-D
  • Moi je me suis juré de m'y mettre quand j'aurai le temps (disons après ma thèse :-D ).

    Tout comme la géométrie algébrique, les formes modulaires, la géométrie "classique", les algèbres de Lie, la topologie algébrique, la théorie des modèles, etc. Tant de choses à apprendre...
  • Ah, on n'a pas les mêmes goûts alors :-D En algèbre, je mets théorie de Galois en priorité, juste après la théorie des groupes bien sûr. Mais bon, il est évident qu'on ne part pas du même point toi et moi ... 8-)
  • lol !!!

    généralement, ça se passe en L3 ... 'géométrie différentielle' (+ attrait pour la géométrie et / ou la physique) est alors une extension naturelle de 'calcul différentiel' ... en plus (à l'époque à Jussieu), tu pouvais rencontrer Thierry Aubin et Misha Gromov ... si ça ce n'est pas de la motivation, il faut vraiment que la prof. de groupes soit super mignonne ...
  • Pour les groupes tu devrais prendre l'excellent livre d'AD ! Pour la théorie de Galois le livre de problèmes corrigés "Problèmes d'arithmétique et de théorie de Galois" de Bruno Deschamps est très sympa pour voir la théorie en action (il n'y a pas de cours par contre).
  • Pour les groupes, j'attends le livre de GregrinGre, qui ne devrait plus tarder, et qui reprend toute l’algèbre pour la Licence et le Master. Pour la théorie de Galois, j'ai en version papier le livre tiré de http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/laszlo/galois/galois.pdf, mais jamais trouvé le temps d'aller plus loin que les deux premiers chapitres.

    On va arrêter, c'est trop frustrant :-D Et puis je préfère ne pas aller trop vite, sinon je n'aurais plus d'excuse pour ne pas tenter l'agreg B-)-
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