Fonction intégrable non bornée

Chaurien

Bonjour.
J'ai un exemple d'une fonction de classe $\mathcal C^\infty$ sur $[0, \infty[$, intégrable sur $[0, \infty[$, non bornée. Mais sa fabrication demande une préparation que j'aimerais bien éviter. Il me semble en avoir vu passer ici, plus simples. Auriez-vous ça dans votre besace ?
D'avance, merci.
Bonne journée.
Fr. Ch.

remarque

On prend une bosse $C^\infty$ à support dans $]0,1[$, $\varphi$, et on la malaxe convenablement : $\sum_{n=0}^\infty n\varphi\bigl(n^3(x-n-1/2)+n+1/2\bigr)$.

mojojojo

Est-ce que le côté $C^\infty$ te tient vraiment à cœur ? Je suppose que oui puisque tu connais sans doute des exemples $C^0$ simples à base de triangles.

J'ai plusieurs idées :
-Partir d'un exemple $C^0$ à base de triangles puis le régulariser par convolution. Problème : il faut régulariser chaque triangle séparément.
-Faire une somme de gaussiennes de de variance tendant vers $0$ et d'espérance tendant vers $+\infty$. Problème : je ne sais pas si les calculs pour montrer que c'est effectivement (ou non) $C^\infty$ sont faciles.
-Construire une fonction positive, $C^\infty$ et à support compact puis sommer des copies contractées/dilatées/translatées.

Je pense que la troisième solution est la plus simple (en tout cas plus simple que la première) et puis la construction d'une fonction $C^\infty$ à support compact est toujours un résultat intéressant.

remarque

Il y a de grandes chances que $x\mapsto \frac{xe^{-x}}{1+\sin x+e^{-x}}$ convienne également, mais il faut le montrer ce qui est plus pénible qu'avec la bosse ci-dessus.

Dans le même genre, mais peut-être moins manifestement intégrable $x\mapsto \frac{x}{x^3(1+\sin(x))+1}$.

Chaurien

Merci à remarque, il faut voir. Justement je cherche une fonction qui soit composée de fonctions usuelles et ne résulte pas d'une construction comme limite d'une suite de fonctions ou somme d'une série de fonctions, ni de bricolage comme l'exemple classique d'une fonction « en dents de scie » avec des pics successifs.
Celle à quoi je pensais est : $f(x)=\frac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }\sin ^{2}x}$ avec $\beta >0$, intégrable sur $\mathbb R_+$ si $\beta >2\alpha +2$, non bornée si $\alpha >0$. J'appelle son intégrale « Intégrale de Hardy » parce que c'est Hardy qui l'a étudiée en 1901. Elle donne un exemple d'une variable aléatoire à densité avec une fonction de distribution de classe $ \mathcal C^{\infty}$ et qui n'est pas bornée, et qui a plusieurs moments finis.On peut changer le $x^{\beta } $ du dénominateur en $e^{x}$ ou $\cosh x$.
Mais la preuve demande un peu de travail et il m'avait semblé voir passer une fois sur ce forum un exemple plus simple, et c'était l'objet de ma demande.
Merci à tous ceux qui ont répondu.
Bone soirée.
Fr. Ch.

Onch

Bonjour (avec beaucoup de retard) mais x-> 1/√x est L¹ sur ]0,1[ donc quitte à mettre une indicatrice la fonction est bien L¹]0,+inf[ nan ?

Poirot

Oui, mais elle n'est pas $\mathcal C^{\infty}$ contrairement au souhait de Chaurien.

bisam

Tu as raison, mais cela ne répond pas à la question posée (il y a fort longtemps) par Chaurien.

Ta fonction n'est pas du tout de classe $C^{\infty}$ sur $\left[0,+\infty\right[$ : il y a des problèmes en $0$ et $1$.