Pourquoi $\sin(u+n\pi)=(-1)^n\sin(u)$ ?

Harastieu

Bonjour, désolé pour ma question sans doute un peu bateau pour beaucoup de personnes mais pourquoi peut-on dire que pour tout entier $n$ et tout réel $u$, on a $\sin(u+n\pi)=(-1)^{n}\sin(u)$ ?
Cordialement,
Matthieu.

Poirot

Par $2\pi$-périodicité il suffit de le montrer pour $n=0$ et $1$. Pour $n=0$ je pense que tu sauras faire :-D Pour $n=1$ tu peux par exemple utiliser la formule donnant $\sin(a+b)$ en fonction des sinus et cosinus de $a$ et $b$ ;-)

Harastieu

Donc j'ai :

pour $n=0$, $\sin(u+n\pi) = \sin(u)$

pour $n=1$ on a $\sin(u+\pi)=\sin(u)\cos(\pi)+\cos(u)\sin(\pi)=-\sin(u)$

et donc de ça on peut en déduire $\sin(u+n\pi)=(-1)^{n}\sin(u)$ ? :-)

Cordialement,
Matthieu

YvesM

Bonjour @Harastieu,

Tu es en quelle classe ?

Tu peux le voir sur le cercle trigonométrique. Positionne $M$ sur le cercle qui fait un angle $u.$ Où se trouve le point $M'$ qui a un angle $u + \pi$ et $M''$ qui a un angle $u+2\pi$ ? Lis leur sinus et conclus.

Sinon, par récurrence.

Sinon, par calcul : $\sin (u+n \pi) = \sin u \cos (n \pi) + \sin(n \pi) \cos u$ ; $\sin (n \pi) = 0$ pour tout $n$, d'accord ? ; $\cos (n \pi) = (-1)^n$ pour tout $n$, d'accord ? Lis le sur le cercle trigonométrique.

Harastieu

Bonjour, en effet j'aurai dû y penser avant ...

Je suis en faite en BTS mais ma copine est en L2 mathématiques, et étant particulièrement passionné par les maths, j'aime résoudre ses sujets de devoir maison par simple curiosité mathématiques, d'où mes "nouveaux sujets" assez récurrents.

Sinon je viens de Terminale S.

Cordialement,

Matthieu

YvesM

Bonjour,

Donc tu le lis directement sur le cercle. Et tu le démontres par une récurrence bien propre (une fois pour toutes).

Harastieu

D'accord, je fait ça, merci !

Bonne journée à vous :-)

Matthieu

Utilisateur anonyme

il y a aussi le truc des gars (comme moi) qui ne connaissent ni récurrence, ni formules trigonométriques : dériver, c'est équivalent à ajouter $\dfrac{\pi}{2}$ ...
$$\xymatrix{
\sin x \ar[r] \ar@{=}[d] & \sin \left( x+\dfrac{\pi}{2} \right) \ar[r] \ar@{=}[d] & \sin(x+\pi) \ar[r] \ar@{=}[d] & \sin \left( x+\dfrac{3\pi}{2} \right) \ar[r] \ar@{=}[d] & \sin(x+2\pi) \ar[r] \ar@{=}[d] & \ldots \ar[r] & \sin \left[ x+(2n-1)\dfrac{\pi}{2} \right] \ar[r] \ar@{=}[d] & \sin(x+n\pi) \ar[r] \ar@{=}[d] & \ldots \\
\sin x \ar[r]^{\partial_x} & \cos x \ar[r]^{\partial_x} & -\sin x \ar[r]^{\partial_x} & -\cos x \ar[r]^{\partial_x} & \sin x \ar[r]^{\partial_x} & \ldots \ar[r]^-{\partial_x} & (-1)^{n-1} \cos x \ar[r]^{\partial_x} & (-1)^n \sin x \ar[r]^{\partial_x} & \dots \\
}$$