Série alternée

Harastieu

Bonjour, j'ai un exercice sur les séries à résoudre.

Il faut montrer que la série de terme général $U_{n} $ = $\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x} sin x \, \mathrm dx$
est une série alternée, calculer U0 puis exprimer Un en fonction de Uo, et enfin calculer $ \displaystyle { \sum_{n \geq 0}^{}}U_{n}$

voici ce que j'ai fait pour la première question, est ce une résolution valide ?

$e^{-x} > 0 $
et sin x > 0 sur ]n.$\pi$ ; (n+1).$\pi$[ si n est pair
sin(x) < 0 sur ]n.$\pi$ ; (n+1).$\pi$[ si n est impair
d'ou $e^{^-x}$.sin(x) > 0 sur ]n.$\pi$ ; (n+1).$\pi$[ si n est pair
$e^{-x}$.sin(x) < 0 sur ]n.$\pi$ ; (n+1).$\pi$[ si n est impair
Comme 0 < n $\pi$ < (n+1).$\pi$
on a $U_{n}>0$ si n pair
$U_{n}<0$ si n est impair

cordialement,

Matthieu

gebrane

Bonjour,

Si tu veux, tu peux démontrer directement que $u_n=(-1)^n v_n$ avec $v_n$ une suite à termes positifs en utilisant la formule
$\int e^{ax}sin(bx)dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax} (asin(bx)-acos(bx))$

Harastieu

Bonjour,

j'aimerai savoir d'ou viens cette formule ? je ne la connais pas ?

et ma seconde question, c'est qu'en appliquant cette formule je tombe alors sur
$ \frac{1}{2}e^{-x}(-sin(x)+cos(x))$ comment dois-je faire pour en déduire ce que je cherche ?

Cordialement, ( et bon dimanche)

Matthieu

Poirot

Gebrane a certainement eu la flemme de mettre les bornes de son intégrale, il t'a juste donné une primitive de ton intégrande. La formule vient juste des formules d'Euler : $\sin(x) = \frac{\mathrm{e}^{ix} - \mathrm{e}^{-ix}}{2i}$ ;-)

Harastieu

D'accord je vois maintenant ! Merci Poirot :-)

Par contre je ne vois pas en quoi cela montre que ma série est une série alternée

Poirot

Et bien si tu calcules explicitement ton intégrale, et si tu utilises les formules bien connue donnant $\cos(n\pi)$ en fonction de la parité de $n$, tu verras apparaître quelque chose de la forme $(-1)^nv_n$ où $v$ est une suite de signe constant.

Harastieu

En prenant la primitive de Gebrane en considérant $f(x) = e^{ax} sin(x) $

j'ai fait fait $F((n+1)\pi)-F(n\pi)$ je tombe alors sur $\frac{1}{2}e^{-(n+1)\pi}(-sin((n+1)\pi)+cos((n+1)\pi))-\frac{1}{2}e^{-n\pi}(-sin(n\pi)+cos(n\pi))$

Je sais que $cos(n\pi)=(-1)^n$ mais comment arriver à le sortir de mon expression ?

rakam

Bonjour !
Pour "série alternée" il suffit de faire le changement de variables $x=n\pi+u$...

Pour le calcul de $u_n$ on intègre par parties ou on cherche une primitive de la forme $e^{-x}(a\sin(nx)+b\cos(nx))$.

gebrane

@Harastieu
Essaie de démontrer que $$u_n=\frac {(-1)^n} 2 e^{-\pi (2 n + 1)} (e^{\pi n} + e^{\pi (n + 1)}) $$ À noter que $\sin(n\pi)=0$

Harastieu

Bonjour,

En développant mon expression je tombe alors sur ceci :


$\frac{1}{2}e^{-(n+1)\pi}(-sin((n+1)\pi)+cos((n+1)\pi))-\frac{1}{2}e^{-n\pi}(-sin(n\pi)+cos(n\pi))$

= $\frac{1}{2}e^{-(n+1)\pi}(0+(-1)^{n+1}))-\frac{1}{2}e^{-n\pi}(0+(-1)^{n})$

=$\frac{(-1)^{n+1}}{2}e^{-(n+1)\pi}-\frac{(-1)^{n}}{2}e^{-n\pi}$

=$\frac{(-1)^{n}}{2}(e^{-(n+1)\pi}+e^{-n\pi})$

en développant plus, je n'arrive pas à retrouver votre résultat, je commence un peu à désespérer je suis dessus depuis le début de la journée...

( j'ai par contre réussi à démontrer la formule que vous m'avez donnez en intégrant par partie).

Cordialement,

Matthieu

Poirot

Si tu sais calculer $\cos(n\pi)$ tu devrais pouvoir calculer $\cos((n+1)\pi)$...

Harastieu

C'est modifié maintenant je n'arrive toujours pas à l'expression de Gebrane

Utilisateur anonyme

il suffit de demander : $\displaystyle{u_n = \Im \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{(-1+i)x}dx = -\frac{1}{2} \Im \bigg[ e^{(-1+i)x} \bigg]_{n\pi}^{(n+1)\pi} = (-1)^n e^{-\left( n+\frac{1}{2} \right) \pi} \cosh \frac{\pi}{2}}$ ...

[edit : godammit, minus signs :-( ] ...

Harastieu

Je ne sais pas si utiliser le sinh peut simplifier l'expression

Par contre en développant à l'aide de la primitive je tombe sur

$\frac{(-1)^{n}}{2}(e^{-(n+1)\pi}+e^{-n\pi})$

qui est différent de celle de Gebrane, pour qu'elle raison ?

Cordialement,

Matthieu

Utilisateur anonyme

je n'avais pas vu qu'il y avait encore des trucs qui traînent :
$$\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = e^{-\frac{\pi}{2}} \cosh \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-n\pi} = e^{-\frac{\pi}{2}} \cosh \frac{\pi}{2} \frac{1}{1+e^{-\pi}} = \frac{1}{2}$$

ps 1 : f**k, je me suis vautré quelque part, car on doit trouver $+\dfrac{1}{2}$ ...

ps 2 : ouf, c'est bon ... je suis retombé sur mes pieds et retrouvé la valeur de l'intégrale semi-convergente $\displaystyle{\int_0^{+\infty} e^{-x} \sin x dx = \frac{1}{2}}$ ...

aléa

Il est quand même nettement plus simple de calculer la somme de la série de terme général
$V_{n} $ = $\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x} e^{ix} \, \mathrm dx$ , puis de prendre la partie imaginaire.

Harastieu

Bonsoir,

Il me reste maintenant a prouver que la somme de mon expression trouvé fait 1/2..

Je bloque (encore)...

Cordialement,

Matthieu

Utilisateur anonyme

Harastieu a écrit:

Il me reste maintenant a prouver que la somme de mon expression trouvé fait 1/2..

sérieux ??? je l'ai détaillé 2 messages + haut (je reconnais que je voulais, par curiosité :-P , savoir combien ça faisait) ...

Harastieu

J'ai effectivement vu cela, mais comme j'ai pas la même expression ( et que j'ai déjà rédigé pas mal mon exercice) j'aimerai trouver le résultat de la somme avec ce que j'ai comme expression, mais je bloque ..

Merci de votre aide

Cordialement,

Matthieu

Utilisateur anonyme

en fait, on a la même chose ... c'est juste que la mienne est + compacte ... entre $n\pi$ et $(n+1)\pi$, il y a au milieu $\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi$ ... une fois que tu factorises l'exponentielle de ce petit bonhomme, il te reste les exponentielles de $\pm \dfrac{\pi}{2}$ ... ce qui donne des fonctions hyperboliques genre $\cosh$ ...

tu t'enquiquines à te trimballer avec :
$$\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \left[ e^{-(n+1)\pi} + e^{-n\pi} \right] & = & \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-(n+1)\pi} + \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-n\pi} \right] \\
& = & \frac{1}{2} \left[ -\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n e^{-n\pi} + \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-n\pi} \right] \\
& = & \frac{1}{2} (-1)^n e^{-n\pi} \, \Bigg|_{n=0} = \frac{1}{2}
\end{eqnarray}$$
ooops, je n'ai rien dit ... ça va assez vite avec ton truc ... et avec peu de chances de se tromper dans les calculs et autres signes ... le télescopage évite de faire appel aux histoires de suites géométriques ... je suis trop dégoûté :-( ...

[edit : arf, zappé tous les signes - des exponentielles !!!] ...

YvesM

Bonjour,

Pour tout $n$ entier, on définit $\displaystyle u_n = \int_{n\pi }^{(n+1)\pi} e^{-x} \sin x dx.$
La fonction $\displaystyle x \mapsto e^{-x} \sin x$ est définie et continue sur $\displaystyle \R$ : donc l'intégrale existe et la suite $u$ est bien définie.

On effectue le changement de variable $\displaystyle x \leadsto y$ avec $\displaystyle y=x-n \pi$ pour tout $n$ entier. On a $\displaystyle u_n = \int_{0}^{\pi} e^{-(y+n\pi)} \sin(y+n\pi) dy$ et comme, pour tout $u$ réel et pour tout $n$ entier, $\displaystyle \sin(u+n \pi) = (-1)^n \sin u$ on a : $\displaystyle u_n =(-1)^n e^{-n\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-y} \sin y dy = (-1)^n e^{-n\pi} u_0.$ C'est bien une série alternée.

La somme, pour tout $N$ entier, $\displaystyle \sum_{n= 0}^N (-1)^n e^{-n\pi} u_0$ est une somme géométrique de raison $\displaystyle -e^{-\pi}$ avec $\displaystyle e^{-\pi} <1.$ La série $\displaystyle \sum_{n \geq 0} (-1)^n e^{-n\pi} u_0$ existe. On calcule $\displaystyle \sum_{n \geq 0} (-1)^n e^{-n\pi} u_0 = u_0 {1 \over 1+e^{-\pi}}.$

Il reste à calculer $\displaystyle u_0 = \int_{0}^{\pi} e^{-x} \sin x dx = \Im \big(\int_{0}^{\pi} e^{(-1+i)x} dx \big) = \Im \big( {e^{(-1+i) \pi} -1 \over -1+i} \big) = {1+e^{-\pi} \over 2}.$ On a donc trouvé que : $\displaystyle \sum_{n \geq 0} u_n = \frac12.$

Harastieu

Merci beaucoup tout de même pour votre aide précieuse !

Je n'aurai quand même jamais pensé à votre technique

En vous souhaitant une agréable fin de soirée,

Cordialement,

Matthieu

pldx1

Pour trouver $1/2$, on a tout simplement:

$$ \int_{0}^{\infty }\!{{\rm e}^{-x}}\sin \left( x \right) \,{\rm d}x = \left. -\frac 1 2 {{\rm e}^{-x}} \left( \cos \left( x \right) +\sin \left( x
\right) \right)\right |_0 ^\infty = \frac 1 2 $$

Pour avoir un exercice qui vaille le dérangement, autant regarder $\int_{0}^{\infty }\!{{\rm e}^{-x}} \left| \sin \left( x \right)\right | \,{\rm d}x$