un sous-groupe fini de GLn(C)

emmanuel

Bonjour,
Je ne parviens pas à résoudre l'exercice suivant:

Soit G un sous-groupe de GLn(C) tel que M²=I pour toute matrice M dans G. Montrer que G est fini de cardinal 2^p avec p compris entre 1 et n.

Ca m'a fait penser au théorème de Burnside (sur les ss-gpes d'exposant fini), mais je ne peux pas me résoudre à ce qu'il n'y ait pas de démo plus simple.
Si l'un d'entre vous peut m'aider, je l'en remercie par avance,
Emmanuel

VK

Bonjour,

Voici quelques indications :

1.- Montrer que $G$ est commutatif.
2.- Montrer qu'il existe $P \in GL_n(\C)$ telle que les matrices $PMP^{-1}$, $M \in G$, soient diagonales.
3.- Conclure.

VK

emmanuel

Alors:
1) OK facile. Donc toutes les M de G commutent 2 à 2.
2) Les M de G sont diagonalisables (polynome annulateur X²-1 scindé à racines simples) et commutent 2 à 2 donc sont co-diaganalisable donc il existe P inversible tq pour tout M de G $PMP^{-1}$ soit diagonale.
3) Ben ouais mais je ne vois pas comment conclure!...
Encore quelques indications?...

toposurloser

ben euh... qu'est-ce qu'il y a comme coefficients sur la diagonale ?

emmanuel

Merci. J'ai bien fait d'aller me coucher, j'étais vraiment très fatigué!
Sp(M) inclus dans {-1,1} d'où au plus 2^n possibilités...