Polynôme nul

jaccuzzi

Bonjour
Considérons un polynôme $p\in Z[x_1,x_2,a_1,a_2]$ qui possède les 2 propriétés suivantes :
- $p(x_1,x_2,a_1,1-a_1)$ est non nul
- $p(x_1,-x_1,a_1,1-a_1)$ est nul

Peut-on dire que $p$ est multiple $((a_1+a_2)^ix_1+(a_1+a_2)^jx_2)$, $i,j$ étant deux entiers positifs ou nuls ?
Merci à vous.

GaBuZoMeu

jaccuzzi a écrit:

- $p(x_1,x_2,a_1,1-a_2)$ est non nul
- $p(x_1,-x_1,a_1,1-a_2)$ est nul

La première condition nous dit juste que $p$ n'est pas le polynôme nul, et la deuxième qu'il est divisible par $x_1+x_2$.
Je pressens que le message est bourré de coquilles.

jaccuzzi

Ah bon? Le polynome $x_1+a_1x_2+a_2x_2$ satisfait les deux conditions mais n'est pas divisible par $x_1+x_2$ non?

GaBuZoMeu

Où vois-tu que $x_1+a_1(-x_1)+(1-a_2)(-x_1)=(a_2-a_1)x_1$ est le polynôme nul ?

GaBuZoMeu

La question a été changée. On peut voir l'état original de la question dans mon premier message. J'ai répondu à la question telle qu'elle était posée (en signalant la probable existence de coquilles).

Avec la question nouvelle manière, on déduit de la première condition que $p$ n'est pas divisible par $a_1+a_2-1$, et de la deuxième condition qu'il est dans l'idéal engendré par $a_1+a_2-1$ et $x_1+x_2$. Autrement dit, $p=(a_1+a_2-1) q + (x_1+x_2) r$, avec $r\neq 0$.

jaccuzzi

Merci GaBuZoMeu et encore désolé pour les coquilles!

gerard0

Jaccuzzi,

il est de tradition sur le forum de montrer qu'on a rectifié un message. Il y a un bouton "barrer" et on peut toujours rajouter des explications.
Pour ma part, je ne comprenais rien à ce que disait GaBuZoMeu, mais comme je connais son niveau, je me demandais comment interpréter ton énoncé.

Cordialement.

jaccuzzi

Ah je ne savais pas ! Désolé !

GaBuZoMeu est top....et c'est lui à chaque fois qui répond à mes questions ! Encore merci à lui.