Réseaux et courbes elliptiques

Bonjour,

Lorsque l'on prend un réseau $\Lambda$ de $\C$, et que l'on considère le quotient de $\C$ par $\Lambda$ on obtient une courbe elliptique $E$.

Est - ce que l'on peut construire l'équation réduite de la courbe $E$ : $y^2=x^3+ax+b$ ?

Par exemple, si je prend le réseau $\Lambda := \Z[ i]$ ...

Merci d'avance,
«13

Réponses

  • Oui,
    Les coeff sont donnés par les fonctions G_3 et G_6 d'Eisenstein évaluées sur le reseau, a des constantes pres, que j'ai oublié.
  • @flip flop
    Oui à l'aide des fonctions elliptiques/modulaires $g_2, g_3$. Mais un petit conseil, si je peux me permettre, c'est de $2i\pi$-épurer les objets. Ne pas prendre (comme tout le monde) le paramétrage :
    $$
    \mathbb H \ni \tau \longmapsto \Z \oplus \Z\tau \in \hbox {Réseaux}(\C)
    $$
    Mais
    $$
    \mathbb H \ni \tau \longmapsto 2i\pi(\Z \oplus \Z\tau ) \in \hbox {Réseaux}(\C)
    $$
    Cela ne change pas grand chose car les deux réseaux sont semblables.

    Sauf que, avec le deuxième paramétrage, en posant $q = e^{2i\pi\tau}$, les objets à venir seront rationnels en $q$ (cf la $q$-courbe de Tate).

    Et tu pourras alors jouer dans le monde merveilleux des séries de $\Qq$, voire de $\Zq$.

    En attendant, j'attache UNE page (un peu chargée, je reconnais). Car dans notre monde (du calcul), faut être SUPER-réglo avec les constantes.

    Plus (plus tard) si affinités.
  • Merci NoName, mais je voudrais faire des vrais calculs, on (enfin moi) va devoir faire vraiment les évaluations :-D

    Merci Claude ... je vais étudier ton plan d'action, on verra si je me perds pas en cours de route :D
  • @flip flop
    Pour un réseau $\Lambda$, l'équation vérifiée par sa fonction de Weierstrass et sa dérivée est :
    $$
    y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3, \qquad \quad g_2 = 60G_4, \qquad g_3 = 140 G_6
    $$
    Si le réseau $\Lambda$ vérifie $i\Lambda = \Lambda$ (par exemple $\Z[i\rbrack$ ou tout idéal non nul de $\Z[i\rbrack$), tu vas trouver que $g_3(\Lambda) = 0$ (exercice !) donc $j(\Lambda) = 1728$ et une équation elliptique de type :
    $$
    y^2 = 4x^3 - g_2x
    $$
    Tiens, le type de notre amie $y^2 = x^3 - x$ et même $y^2 = x^3 + Dx$, délaissée depuis un certain temps.

    Et comme tous les idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ ont même $j$-invariant (à savoir $1728$), ce sont des réseaux semblables (le job du $j$-invariant). Et c'est donc que l'anneau $\Z[i\rbrack$ est ... je l'ai sur le bout de la langue.

    Dans le jeu ``fournir la démonstration la plus complexe qu'un anneau quadratique imaginaire est principal'', qui va gagner ? Zut, je l'ai dit.
  • La courbe de Koblitz :-D Ah oui, tu m'as dit qu'il fallait aussi regarder les idéaux et pas seulement l'anneau $\Z[ i]$ (mélange explosif, c'est ça :-D).
    (ps : pour $\Z[ i]$, il faut mettre un espace entre le premier crochet et le $i$
    \Z[ i]
    

    J'ai regardé rapidement pour l'instant ton plan ... c'est concentré mais ça va me permettre de faire un petit tour d'horizon, histoire de voir ce que je dois apprendre (tu) Disons qu'il y a pas mal de personnages dans cette histoire :-D

    Petite coquille à la fin dans "série de Weierstrass" : il y a un $G_{2n+1}$ qui apparaît mais je pense que $G_k$ avec $k$ impair est égal à zéro.
  • @flip flop
    Coquille : exact, tu as l'oeil. Et c'est pas sérieux (de ma part). Petit cadeau pour voir avec tes yeux les séries d'Eisenstein $E_4, E_6$. Leurs définitions :
    $$
    E_4 = 12 \times g_2(2i\pi(\Z \oplus \Z\tau)), \qquad E_6 = -216 \times g_3(2i\pi(\Z \oplus \Z\tau)), \qquad q = e^{2i\pi\tau}
    $$
    Il va falloir s'habituer aux constantes. Attention au signe $-$ pour $E_6$. Et voilà pourquoi il faut $2i\pi$-épurer le binz et faire avec les constantes:
    $$
    \zeta_{2k} \ \buildrel {\rm def} \over = \ \sum_{n \ge 1} {1 \over n^{2k}} = - {(2i\pi)^{2k} \over 2} \times {b_{2k} \over (2k)!}, \qquad\qquad
    G_{2k}(\Z \oplus \Z\tau) = 2 \zeta_{2k}\ E_{2k}(\Z \oplus \Z\tau)
    $$
    Tu vois le $(2i\pi)^\bullet$ qui se pointe. A neutraliser. Les gens qui sont $q$-rationnels savent cela. Et $b_{2k}$ c'est le nombre de Bernoulli d'indice $2k$. C'est de la faute à personne, les constantes.
    Plus une autre fois sur :
    $$
    E_{2k}(q) = 1 - {4k \over b_{2k}} \sum_{n \ge 1} \sigma_{2k-1}(n)q^n, \qquad \qquad \sigma_e(n) = \sum_{d\mid n} d^e
    $$
    Bienvenue au club.

    > Qq<q> := PowerSeriesRing(RationalField()) ;
    > E4 := Eisenstein(4, q) ;
    > E6 := Eisenstein(6, q) ;
    > 
    > E4 ;
    1 + 240*q + 2160*q^2 + 6720*q^3 + 17520*q^4 + 30240*q^5 + 60480*q^6 + 82560*q^7 + 140400*q^8 + 181680*q^9 + 272160*q^10 
        + 319680*q^11 + 490560*q^12 + 527520*q^13 + 743040*q^14 + 846720*q^15 + 1123440*q^16 + 1179360*q^17 + 1635120*q^18 +
        1646400*q^19 + O(q^20)
    > 
    > (E4-1) / 240 ;
    q + 9*q^2 + 28*q^3 + 73*q^4 + 126*q^5 + 252*q^6 + 344*q^7 + 585*q^8 + 757*q^9 + 1134*q^10 + 1332*q^11 + 2044*q^12 + 
        2198*q^13 + 3096*q^14 + 3528*q^15 + 4681*q^16 + 4914*q^17 + 6813*q^18 + 6860*q^19 + O(q^20)
    > 
    > E6 ;          
    1 - 504*q - 16632*q^2 - 122976*q^3 - 532728*q^4 - 1575504*q^5 - 4058208*q^6 - 8471232*q^7 - 17047800*q^8 - 29883672*q^9 
        - 51991632*q^10 - 81170208*q^11 - 129985632*q^12 - 187132176*q^13 - 279550656*q^14 - 384422976*q^15 - 545530104*q^16
        - 715608432*q^17 - 986161176*q^18 - 1247954400*q^19 + O(q^20)
    > -(E6-1)/504 ;
    q + 33*q^2 + 244*q^3 + 1057*q^4 + 3126*q^5 + 8052*q^6 + 16808*q^7 + 33825*q^8 + 59293*q^9 + 103158*q^10 + 161052*q^11 + 
        257908*q^12 + 371294*q^13 + 554664*q^14 + 762744*q^15 + 1082401*q^16 + 1419858*q^17 + 1956669*q^18 + 2476100*q^19 + 
        O(q^20)
    
  • @Claude ;

    Il y a un $189$ dans l'histoire Claude ? $y^2=4x^3-189x$ ?

    On remplace $\tau$ par $i$ dans $E_4$ et on re normalise ${E_4(\exp(-2pi)) \times (2\pi)^4 \over 12 }$.
  • @flip flop
    Je ne sais pas trop. D'où sors tu 189 ? Cela donne l'impression que tu cherches un nombre entier. Cela doit être vrai que $g_2(\Z[i\rbrack)$ est réel (car invariant par la conjugaison complexe ?).

    Attention ci-dessous à la surcharge de la fonction Eisenstein selon les arguments. Si l'argument est complexe, il doit désigner un habitant du demi-plan de Poincaré, classiquement noté $\tau$.

    > R := RealField(50) ;              
    > C<i> := ComplexField(50) ;
    > pi := Pi(R) ;                     
    > Eisenstein(4, i) * (2*i*pi)^4 / 12 ;
    189.07272012923385229306139653492131339873116127089
    

    J'ai laissé le $i$ dans $(2i\pi)^4$ par principe même si cela ne sert à rien (car le jour où tu feras avec $(2i\pi)^6$, cela peut faire mal d'oublier).

    Hum, je me méfie (de moi). Et 189.0727.. cela me paraît loin d'un nombre entier.
  • Claude, compris pour $i$ et $\tau$.

    Ah oui je cherchais un entier, j'ai pris trois termes dans le développement de $E_4(\exp(-2\pi))$. J'ai fais à la louche :-D

    Du coup, la série de départ est assez amusante :
    $$
    \sum_{(a,b) \in \Z^2 \setminus \{ (0,0) \}} \frac{1}{(a+ib)^4}
    $$
  • Pour $G_6(\Z[ i])= 0$.

    On a : $G_6(\Z[ i]) = G_6(i \times \Z[ i]) = \frac{1}{i^6} g_G(\Z[ i])$ d'où la conclusion.
  • @flip flop
    Il est préférable d'utiliser les notations consacrées (sinon, on risque de s'y perdre). Ainsi dans ton post précédent, c'est $g_3$ au lieu de $g_6$ (qui en principe n'existe pas). Ce qui existe c'est $G_6 = g_3/140$. Tu me diras que 0 à une constante multiplicative près, c'est encore 0. Mais je pense que tu n'apprécierais pas que j'écrive :
    $$
    \sum_{n \ge 1} {1 \over n^2} = \pi^2 \qquad \hbox {à une constante multiplicative près}
    $$
    Et dans ton avant dernier post, attention à ton utilisation de $E_4$ : il est entendu cela mange un habitant $\tau$ du demi-plan de Poincaré auquel on associe CLASSIQUEMENT le réseau $\Z \oplus \Z\tau$ puis ...etc.. Et faire attention à l'utilisation de $q$ versus $\tau$ via $q = e^{2i\pi\tau}$. Tout cela est certes un peu sordide mais si on veut s'y retrouver ..
  • Ah mince, sorry Claude, je vais faire attention ! (j'edit l'autre post).
  • Claude, je pense avoir compris un truc !

    On va considérer les deux réseaux suivant :
    $$\Omega := \Z+ \oplus i\sqrt{5}\Z \qquad \text{ et } \qquad \Omega_1 := 23\Z \oplus (8+i\sqrt{5})\Z$$

    $\Omega$ est l'anneau d'entier de $K := \Q(\sqrt{-5})$ et $\Omega_1$ est le sous-réseau de $\Omega$ correspondant à un idéal premier de $\Z[\sqrt{-5}]$ au dessus de $23$. Pourquoi $23$ ? bah c'est Jim Carrey, qui m'a dit de prendre $23$ :-D ... non en vraie c'est de la faute à Lou16

    C'est quoi la "chose" ?

    Alors $\Omega_1$ vu comme idéal premier de $\Z[\sqrt{-5}]$ n'est pas un idéal principal. Et l'explication de ça : c'est que les deux réseaux non pas le même $J$ !
    > R := RealField(50) ;              
    > C<i> := ComplexField(50) ;
    > pi := Pi(R) ;       
    r5 :=Sqrt(5);              
    g2 := Eisenstein(4, (8+i*r5)/23) / 12 ;     ///  idéal au dessus de 23 non principal
    g3 :=Eisenstein(6, (8+i*r5)/23) / (-216);
    g2^3/(g2^3-27*g3^2);
    g2 := Eisenstein(4, (i*r5)) / 12 ;
    g3 :=Eisenstein(6, (i*r5)) / (-216);
    g2^3/(g2^3-27*g3^2);
    g2 := Eisenstein(4, (13+i*r5)/29) / 12 ;  // ideal au dessus de 29 principal 
    g3 :=Eisenstein(6, (13+i*r5)/29) / (-216);
    g2^3/(g2^3-27*g3^2);
    
    -0.311868909224831781062602079193 + 3.81193289707332624438454723714E-18*$.1
    731.793350390706313264020286020
    731.793350501037389238352934843 - 7.27566843962436661870980672298E-8*$.1
    
  • @flip flop
    Ok, mais j'ai quand même vérifié. J'ai vu que tu as fait sans $(2i\pi)^\bullet$. Oui car on peut multiplier $g_2$ par $\mathrm {truc}^2$ à condition de multiplier $g_3$ par $\mathrm {truc}^3$ puisque $J$ est homogène de degré $0$ (en les poids). Voici une autre manière de procéder pour obtenir le $j$-invariant plus directement. Attention : $j = 1728J$.

    > C<i> := ComplexField(50) ;
    > // j = 1728 * J 
    > ir5 := i*Sqrt(5) ;
    > 
    > tau := ir5 ;
    > jInvariant(tau) ;
    1264538.90947514050932022704742
    > g2 := Eisenstein(4, tau)/12 ;
    > g3 := Eisenstein(6, tau)/(-216) ;
    > J := g2^3 / (g2^3 - 27*g3^2);
    > 1728 * J ;
    1264538.90947514050932022705424
    > 
    > tau := (8+ir5)/23 ;
    > jInvariant(tau) ;
    -538.909475140509320227047410691 + 8.07793566946316088741610050850E-27*$.1
    > g2 := Eisenstein(4, tau)/12 ;
    > g3 := Eisenstein(6, tau)/(-216) ;
    > J := g2^3 / (g2^3 - 27*g3^2);
    > 1728 * J ;
    -538.909475140509317676176392847 + 6.58702004614268037762689647962E-15*$.1
    

    On peut aussi spécifier le réseau par une $\Z$-base [z, z']

    > // Réseaux
    > jInvariant([1, ir5]) ;
    1264538.90947514050932022704742
    > jInvariant([23, 8+ir5]) ;
    -538.909475140509320227047410693 + 8.07793566946316088741610050850E-27*$.1
    

    On peut aussi utiliser les formes quadratiques. Ici le discriminant est $4 \times (-5)$.

    > // Formes quadratiques
    > D := 4 * (-5) ;
    > QD := BinaryQuadraticForms(D) ;
    > ReducedForms(QD) ;
    [ <1,0,5>, <2,2,3> ]
    > q0 := QD ! <1, 0, 5> ;
    > jInvariant(q0) ;
    1264538.90947514050932022704742
    > q1 := QD ! <2,2,3> ;
    > jInvariant(q1) ;
    -538.909475140509320227047410673 + 1.66396091103979763010023560644E-28*$.1
    > 
    > NumberField(Order(Ideal(q1))) ;
    Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 5 over the Rational Field
    

    Le coup de $j = 1728 J$ : pour que le développement de $j$ en $q$ débute par ${1 \over q}$. Cohen dit que l'on aurait également dû remplacer $j$ par $j - 720$ de manière à ce que le développement soit ${1 \over q} + 24 + 196884q + \cdots$. Of course, tout cela ne change pas le corps engendré par cette fonction modulaire i.e. $\C(J) = \C(j) = \C(j-720)$ et même $\Q(J) = \Q(j) = \Q(j-720)$.

    > Lq<q> := LaurentSeriesRing(RationalField()) ;
    > jInvariant(q) ;
    q^-1 + 744 + 196884*q + 21493760*q^2 + 864299970*q^3 + 20245856256*q^4 + 
        333202640600*q^5 + 4252023300096*q^6 + 44656994071935*q^7 + 
        401490886656000*q^8 + 3176440229784420*q^9 + 22567393309593600*q^10 + 
        146211911499519294*q^11 + 874313719685775360*q^12 + 4872010111798142520*q^13
        + 25497827389410525184*q^14 + 126142916465781843075*q^15 + 
        593121772421445058560*q^16 + 2662842413150775245160*q^17 + 
        11459912788444786513920*q^18 + O(q^19)
    
  • Hello Claude,

    Oui, j'ai vu le coup de homogène de degré $0$ pour $J$, c'est pratique. Merci pour la fonction $j$ de magma, c'est un peu plus simple utilisation :)

    Mais alors, mais alors ... on voit un truc apparaître quand même.

    Disons que l'on prend un corps quadratique $K:=\Q(\sqrt{D})$, avec $D$ un discriminant fondamental négatif. Par Gauss, on a une classification des formes binaires quadratiques de discriminant $D$ et on sait que les formes primitives (modulo l'action de $\text{SL}_2(\Z)$) sont en bijection avec le groupe de classes d'idéaux de l'anneau des entiers de $K$. On dispose également d'un système de représentant des idéaux !

    L'invariant $j$ (ou $J$) permet de séparer les classes d'idéaux ... heu ... faut être un peu fou pour faire :
    $$ \prod_{\mathfrak{p} \in \text{Cl}(K)} (X-j(\mathfrak{p})) = \dots \dots $$
    > C<i> := ComplexField(100) ;
    > // j = 1728 * J 
    > ir5 := i*Sqrt(5) ;
    > 
    > tau := (ir5) ;
    > jInvariant(tau) ;
    taul := (8+ir5)/23 ;
    jInvariant(taul);
    jInvariant(tau) * jInvariant(taul);
    jInvariant(taul)+jInvariant(tau);
    

    Avec $K := \Q(\sqrt{-5})$, on trouve : $P := X^2+1264000X-681472000$.

    Et finalement, ce qui permet d'expliquer que $23$ ne s'écrit pas sous la forme $23=a^2+5b^2$ c'est parce que le polynôme $P$ n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_{23}$ par contre dans $\mathbb{F}_{29}$ c'est le cas .... et $29$ s'écrit comme $a^2+5b^2$.

    Je retourne dormir Claude, sinon je vais raconter des conn.rie :-D
  • Mais non, tu ne racontes pas (trop) de conn.rie(s). C'est vrai pour tout discriminant quadratique fondamental $D < 0$. Qu'est ce qui est vrai ? Que le polynôme :
    $$
    H_D(X) = \prod_{\mathfrak a \in \mathrm {Cl}(K)} (X - j(\mathfrak a)), \qquad\qquad K = \Q(\sqrt D)
    $$
    est à coefficients dans $\Z$ et irréductible sur $\Q$ et sur $K$. Et qu'en notant $L/K$ le corps des écoles de $K$ hum, je ne me souviens plus de ce que l'on dit, c'est pas ``écoles'' mais un truc qui y ressemble, alors $L \cap \R$ admet sur un élément primitif sur $\Q$ dont le polynôme minimal (sur $\Q$) est $H_D(X)$. Quelque part, dans l'autre fil, j'ai dessiné un petit losange avec les acteurs $\Q, K, L, L \cap \R$ mais j'ai la flemme de retrouver.

    Là où tu as peut-être un peu exagéré c'est d'utiliser $\mathfrak p$ au lieu de $\mathfrak a$. Peut-être que pour $D = 4 \times (-5)$, il n'y a pas de lézard. Mais il n'y a pas que des (classes de) d'idéaux premiers dans $\mathrm {Cl}(K)$, en général.

    Et il y a peut-être un petit souci de signe chez toi. Tu vérifies ? Voilà ce que me donne magma (c'est déjà tout près):

    > D := 4 * (-5) ;                     
    > HD<X> := HilbertClassPolynomial(D) ;
    > HD ;
    X^2 - 1264000*X - 681472000
    
  • Tu connais mon identité remarquable préférée : $$
    (x-a)(x-b) = x^2+(a+b)x+ab
    $$

    J'ai du bol, ça ne change pas le discriminant :-D

    Du coup, j'ai "compris" ... Kronecker Jugendtraum .... je vais me faire un petit exemple à la main histoire de rigoler un peu (:D Mais je pense que je ne vais pas aller plus loin ... Pas touche aux points de torsion et gros retour en arrière !

    @Gai requin : tu connais un synonyme de école qui va bien dans la phrase "corps des écoles" ?
  • @flip flop
    Par contre, un truc pas mal c'est de comprendre pourquoi $H_D$ est à coefficients dans $\Q$. On peut faire agir $\mathrm {Aut}(\C)$ (c'est pas moi qui paye) sur $\hbox{Réseaux}(\C)$, en faisant agir $\sigma \in \mathrm {Aut}(\C)$ (c'est pas moi qui paye, bis) sur un réseau $\Lambda$ en DECRETANT que $\sigma$ agit sur les coefficients de la série de Weierstrass $\wp_\Lambda$. Car l'ensemble des réseaux est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des $(g_2, g_3) \in \C \times \C$ tels que $g_2^3 - 27g_3^2 \ne 0$. Tiens une (in-)équation à coefficients dans $\Z$.

    Et pour faire cela, il faut savoir que les coefficients de $\wp_\Lambda$ sont des polynômes à coefficients RATIONNELS des deux ``premiers coefficients'' $G_4, G_6$ (à une constante $\Q$-rationnelle multiplicative près ). C'est le fameux coup que $G_k \in \Q[G_4, G_6]$.

    Je peux te montrer un programme maple (si, si) qui réalise $G_k \in \Q[G_4, G_6]$ en explicitant un polynôme qui ... Et tu te doutes que si on peut le faire dans ce langage (j'avais mais un truc méchant du genre, langage de ..), c'est que c'est faisable pour pas cher car là, c'est moi qui paie. Sauf qu'il faut un peu connaître ses identités remarquables.
  • Ah oui, c'est super important de comprendre le corps des coefficients de $H_D$ ! J'ai bien sûr fait comme s'ils devaient être rationnels !

    Oui, j'ai vu le $G_k \in \Q[G_4,G_6]$ ... J'ai accepté sans trop chercher à comprendre mais oui c'est un truc à comprendre, je fais mettre un peu les mains dans le cambouis et reprendre en détails ton plan.
  • @filpflop : Kronecker Jugendtraum et la théorie du corps des écoles ! (:D
    Je n'en suis pas du tout là...
    Je vais en rester sagement aux discriminants quadratiques fondamentaux. B-)
  • @Claude :

    Pour $G_k \in \Q[G_4,G_6]$, est-ce qu'il s'agit de manipulation sur les séries ou il faut passer par le lien avec les séries de Eisenstein ?
  • @flip flop
    Je fais découler $E_k \in \Q[E_4,E_6]$ de la relation $(\wp')^2 = 4\wp^3 - g_2\wp - g_3$ que l'on dérive et simplifie en :
    $$
    \wp'' = 6\wp^2 - {1 \over 2} g_2
    $$
    Et ensuite il y a quelques calculs. Regarde dans la page 19 pour des précisions. Mais les calculs ne figurent pas dans cette page.

    J'attache aussi 2 pages maple mais le scan n'est pas terrible.

    Une référence parmi d'autres : Serre, Cours d'arithmétique, chap VII, Formes modulaires. On y voit que l'algèbre des formes modulaires pour le groupe $\mathrm {PSL}_2(\Z)$ est la $\C$-algèbre $\C[G_4, G_6]$, graduée par le poids comme on le pense.
  • @Claude :

    J'ai repris ton plan, histoire de faire un résumé pour moi ! En fait, je ne sais pas trop quoi dire ... C'est terrifiant comme construction !
  • @flip flop
    Une précision : pour obtenir que les $E_k \in \Q[E_4, E_6]$, c'est inutile d'aller consulter Serre. C'est une conséquence de l'étude de la fonction de Weierstrass $\wp_\Lambda$ d'un réseau $\Lambda$.

    Mais c'est utile de lire Serre pour des centaines de raisons (la première étant que c'est Serre).

    As tu vu (le scan est mauvais) que, par exemple :
    $$
    E_8 = E_4^2, \qquad E_{10} = E_4 E_6, \cdots
    $$
    Et comme les $E_{2k}$ peuvent être définis de manière purement arithmétique, ces égalités sont des théorèmes d'arithmétique.

    Si tes ami(e)s te demandent ce que tu fabriques en ce moment, tu risques d'être pas mal emm.rdé. Imagine la question ``Monsieur flip-flop, tu fais de l'analyse complexe parce que je vois des séries en $z$ sur ton cahier ? Ah, ben, non, deux pages plus loin, je vois des relations entre $\sum_{d \mid n} d^4$ et $\sum_{d \mid n} d^8$. Et donc tu fais de l'arithmétique ? Ou bien de l'algèbre ? ...etc...''. Comment tu t'en sors ?

    Une question : il est utile à un réseau $\Lambda$ d'associer le corps de fractions rationnelles $\C(\wp_\Lambda)$. Tu vas pouvoir à ce moment là faire de la théorie des corps, de Galois ...etc.. A ton avis, sais tu comment se traduit l'inclusion de réseaux $\Lambda_1 \subseteq \Lambda_2$ en termes de ces corps ?
  • Oui, il y a beaucoup de point de vue ...

    Pour l'inclusion des réseaux ... une extension de corps ... $\C(\wp_{\Lambda_2}) \to \C(\wp_{\Lambda_1})$ ?

    Sinon, tu as un exemple de calcul de $j$ ... pour le réseau $\Z[ i]$ on trouve $1$ et je ne sais pas comment m'y prendre pour faire un autre exemple ???

    Je regarde demain les relations $E_4^2 = E_8$ et $E_{10}= E_4 E_6$.
  • @flip flop
    Oui pour les corps, c'est bien dans le bon sens. Et c'est équivalent à l'inclusion des réseaux. Cela demande un certain travail.

    On a $j(\Z[i\rbrack) = 1728$ et pas $1$ comme tu dis. Note que $j(\Lambda) = 1728$, cela équivaut à $g_3(\Lambda) = 0$.
    Et dire que $j(\Lambda) = 0$, cela équivaut à $g_2(\Lambda) = 0$. Tu peux essayer sur le corps imaginaire quadratique $\Z[j]$ (ici $j$ désigne la racine cubique habituelle de l'unité pas le $j$-invariant).

    Quant à $E_8 = E_4^2$, cela vaut le coup d'avoir l'expression (par récurrence) de $G_{2n+2}$ à l'aide de $G_4, G_6$. Cf mon avant dernier post et une page attachée.
  • C'est bon, j'ai réussi pour $E_4^2 = E_8$ ... en utilisant $\wp$ comme tu l'as suggérer (le pdf Taniyama) ! Faut un peu se battre avec les calculs et les différentes notations mais ok !

    Donc, une fois cette relation obtenue, on obtient des relations en regardant la formulation arithmétique des $E_k$.

    En utilisant les nombres de Bernoulli :
    $$
    \sigma_{3}(n)+120 \sum_{i+j=n} \sigma_{3}(i) \sigma_3(j) = \sigma_7(n)
    $$

    J'ai été voir sur un document, c'est bon ! Et il donne une petit application rigolote : On prend $n=p$ un nombre premier et on prend la congruence modulo $120$ ;

    On obtient $$
    p^3 = p^7 \pmod{120}
    $$

    C'est fun !
  • Pour $\Z[ j]$ c'est bon aussi ... d'ailleurs on obtient également le caractère principal de $\Z[j]$. Si $\Lambda$ est un réseau vérifiant $j \Lambda = \Lambda$ alors $g_2(\Lambda)=0$.

    Par contre, je ne comprends pas vraiment dans quel sens fonctionne ce truc !

    On a, une fonction $J : \mathbb{H} / \text{PSL}_2(\C) \to \C$ ) qui permet de classifier les réseaux (les courbes elliptiques) et cette fonction est aussi défini par des formules arithmétiques.

    Mouhais, je comprends rien :-D
  • @flip flop
    Quelques précisions. Tout d'abord, ce n'est pas $\mathrm {PSL}_2(\C)$ mais $\mathrm {PSL}_2(\Z)$. On a donc
    $$
    J : \mathbb H/\mathrm {PSL}_2(\Z) \simeq \C = \mathbb A^1(\C) \qquad \hbox {(droite affine complexe)}
    $$
    La fonction $J$ permet de classifier les réseaux à similitude prés. Alors que $(g_2,g_3)$ permet de classifier (tout court) les réseaux.

    Plus tard, en ajoutant l'unique $\mathrm {PSL}_2(\Z)$-cusp ``à l'infini'' de $\mathbb P^1(\Q)$ :
    $$
    J : \overline {\mathbb H}/\mathrm {PSL}_2(\Z) \simeq \C \cup \{\infty\} = \mathbb P^1(\C) \qquad \hbox {(droite projective complexe)}
    $$
    Cette droite projective complexe ``définie sur $\Q$ via la fonction $J$'' va être la base de divers revêtements modulaires qui t'attendent :
    $$
    \xymatrix {X\ar[d] \\ \mathbb P^1(\C)}
    $$
    Là-haut, les espaces $X$ qui interviennent sont des courbes complexes (lisses, projectives) définies sur $\Q$ ou sur un corps de nombres. La
    contrepartie algébrique réside dans les inclusions de corps de fonctions (algébriques) :
    $$
    \C(J) \subset \C(X)
    $$
    Tout ce beau monde t'attend.
  • Hum, je pense que je vais de moins en moins comprendre :-D

    Tu veux dire que l'on peut prendre un sous-groupe $G$ de $\text{PSL}_2(\Z)$ (pas $\C$ !) et
    $$
    \xymatrix { \overline{\mathbb{H}} / G \ar[d] \\ \overline{\mathbb{H}} / \text{PSL}_2(\Z) \simeq \mathbb{P}^1(\C) }
    $$

    Hum, je pense que je vais allez faire joujou avec d'autres notions car là c'est sûrement un poil trop trop complexe :-D

    C'est po grave, Un grand merci Claude !

    Petite vidéo : Don Zagier
  • Je résume parce que c'est quand même hallucinant :

    On dispose d'une fonction $j : \mathbb{H} \to \C$ donnée par la formule :
    $$
    j(\tau) := q^{-1} + 744 + 196884q + 21493760q^2 + \dots \qquad \text{avec} \qquad q:= \exp(2i\pi\tau)
    $$

    On a une formule vraiment ... cette fonction est défini sur $\mathbb{H}$ c'est le demi-plan supérieur du plan complexe. Il faut imaginer que cette fonction c'est un peu pareil que la fonction $\cos$, on tape sur la calculette $j(i)$ et hop c'est Edit $12^3$, on tape $j(j) = 0$.

    Admettons l'existence d'une calculatrice qui permet de calculer cette fonction (la fabrication est vraiment complexe) mais juste une application de cette fonction !

    La fonction $j$ permet de répondre à la question suivante :

    Soit $p$ un nombre premier congru à $1,3,7,9 \pmod{20}$ (pas de panique, je suis un peu chargé en congruence). Est-ce que $p$ s'écrit sous la forme $x^2+5y^2 = p$ ?

    La réponse est : Soit $\alpha \in \N$ tel que $\alpha^2+5 = 0 \pmod{p}$. Alors :
    $$
    p=x^2+5y^2 \qquad \text{ si et seulement si } \qquad {j(i\sqrt{5})} = {j \left( \frac{\alpha+i\sqrt{5}}{p} \right)}
    $$

    Claude, déjà rien que "ça" c'est démoniaque ! Mais le pire c'est que c'est beaucoup plus profond ! La fonction $j$ répond facilement à plein de question ! Claude, pour me rassurer, tu trouves ça normal ?
  • @flip flop
    Oui, bien sûr que c'est hallucinant. Disons que j'ai toujours trouvé cette histoire hallucinante (ce mélange d'analyse et d'arithmétique). Et j'ai fini par comprendre que ce n'était qu'un tout petit bout de la chose. J'ai essayé d'en savoir plus sur la chose en question = le monde modulaire. Mais ce n'était pas mon métier, j'ai peiné, trop peiné, ...etc... Toi, tu es encore jeune.

    A propos de formes modulaires : Godement, dans son vol. IV d'Analyse Mathématique, utilise l'expression ``Le jardin des délices modulaires, ou l'opium des mathématiciens''. Prends garde à la fumette.

    Rappel à l'ordre : avec le développement en $q$ que tu as donné de $j$, on a $j(i) = 1728$ et pas $1$ comme tu dis.
  • @flip flop In https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/poly-09.pdf pages 146-147 : tout entier est somme de 4 carrés.
  • Merci Claude. Don Zagier a été très rapide sur ce théorème. D'ailleurs, il donne le cas de la somme de deux carrés. (je vais investiguer un peu) :-D
  • @flip flop
    Un petit coup d'opium ? Je note $\Theta_{1,0,1}$ la théta-série de la forme quadratique neutre de $\Z[i\rbrack$ i.e. $(1, 0, 1) = x^2 + y^2$ c.a.d.
    $$
    \Theta_{1,0,1} = \sum_{(x,y) \in \Z \times \Z} q^{x^2 + y^2}
    $$
    Alors, on a facilement :
    $$
    \Theta_{1,0,1}^2 = \sum_{(x,y,z,w) \in \Z^4} q^{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} = \sum_{n \ge 0} u_nq^n
    $$
    où $u_n$ est le nombre de quadruplets d'entiers de $\Z$ dont la somme des carrés est $n$.

    Jusque là, y'a pas de quoi grimper au ciel.

    > q101 := BinaryQuadraticForms(-4)!1 ;
    > q101 ;
    <1,0,1>
    > T101<q> := ThetaSeries(q101, 20) ;
    > T101 ;
    1 + 4*q + 4*q^2 + 4*q^4 + 8*q^5 + 4*q^8 + 4*q^9 + 8*q^10 + 8*q^13 + 4*q^16 + 8*q^17 + 4*q^18 + 8*q^20 + O(q^21)
    > T101^2 ;
    1 + 8*q + 24*q^2 + 32*q^3 + 24*q^4 + 48*q^5 + 96*q^6 + 64*q^7 + 24*q^8 + 104*q^9 + 144*q^10 + 96*q^11 + 96*q^12 + 112*q^13 + 192*q^14 + 
        192*q^15 + 24*q^16 + 144*q^17 + 312*q^18 + 160*q^19 + 144*q^20 + O(q^21)
    

    Par exemple, voici pourquoi $u_1 = 8$:
    $$
    1 \quad=\quad (\pm 1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \quad=\quad 0^2 + (\pm 1)^2 + 0^2 + 0^2 \quad=\quad 0^2 + 0^2 + (\pm 1)^2 + 0^2 \quad=\quad 0^2 +0^2 + 0^2 + (\pm 1)^2
    $$
    Et je te laisse compléter $u_2 = 24$ :
    $$
    2 \quad=\quad (\pm 1)^2 + (\pm 1)^2 + 0^2 + 0^2 \quad=\quad (\pm 1)^2 + 0^2 + (\pm 1)^2 + 0^2 \quad=\quad \cdots
    $$
    Que du banal.

    Là où cela l'est moins, c'est que $\Theta_{1,0,1}^2$ est le développement en $q = e^{2i\pi\tau}$ d'un habitant d'un espace noté $M_2(\Gamma_0(4))$ (formes modulaires de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(4)$, tu trouveras bien quelque part la définition de $\Gamma_0(N)$).

    Et $M_2(\Gamma_0(4))$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension 2 dont voici une base à gauche, exprimée en fonction des séries d'Eisenstein :
    $$
    E^{-}_{2,2}, \qquad E^{-}_{2,4}, \qquad \qquad \hbox {avec}\quad E^{-}_{2,N}(q) = NE_2(q^N) - E_2(q)
    $$
    Rappel :
    $$
    E_2(q) = 1 - 24 \sum_{n \ge 1} \sigma_1(n)\ q^n \qquad \qquad \hbox {avec} \quad \sigma_1(n) = \sum_{d \mid n} d
    $$
    Bilan : c'est que $\Theta_{1,0,1}^2$ est combinaison linéaire de ces deux séries d'Eisenstein ci-dessus à gauche.

    > Qq := Parent(q) ;       
    > Qq ;
    Power series ring in q over Integer Ring
    > E2minus := func < N | Qq ! (N*Eisenstein(2,q^N) - Eisenstein(2,q)) > ;
    > E2minus(2) ;
    1 + 24*q + 24*q^2 + 96*q^3 + 24*q^4 + 144*q^5 + 96*q^6 + 192*q^7 + 24*q^8 + 312*q^9 + 144*q^10 + 288*q^11 + 96*q^12 + 336*q^13 + 192*q^14
        + 576*q^15 + 24*q^16 + 432*q^17 + 312*q^18 + 480*q^19 + O(q^20)
    > E2minus(4) ;
    3 + 24*q + 72*q^2 + 96*q^3 + 72*q^4 + 144*q^5 + 288*q^6 + 192*q^7 + 72*q^8 + 312*q^9 + 432*q^10 + 288*q^11 + 288*q^12 + 336*q^13 + 
        576*q^14 + 576*q^15 + 72*q^16 + 432*q^17 + 936*q^18 + 480*q^19 + O(q^20)
    

    On devine facilement la combinaison linéaire

    > E2minus(4) - 3*T101^2 ;
    O(q^20)
    

    Et ``donc'' :
    $$
    3\Theta_{1,0,1}^2 = 4E_2(q^4) - E_2(q)
    $$
    Et tu pourras vérifier que cela donne pour $u_n$ (le nombre de quadruplets ...etc..)
    $$
    u_n = 8 \sum_{d \mid n \atop d \not\equiv 0 \bmod 4} d = \cases {
    8 \sum_{d \mid n} d & si $n$ est impair \cr
    24 \sum_{d \mid n \atop d\ \rm impair} d & si $n$ est pair \cr
    }
    $$
    C'est le théorème de Jacobi (1828) qui précise vachement le théorème de Lagrange (1770) affirmant que tout entier est somme de 4 carrés.

    Un petit coup de fumette ?
  • @Claude : Je n'ai pas réussi à obtenir la formule à la fin ... dans le cas où $n$ est impair ok, dans le cas où $n=0 \pmod{4}$ ok aussi, et après je lutte.

    Mais j'ai fais mumuse un peu avec magma :

    Je suis parti de la forme :
    $$
    \Theta := \Theta_{1,1,1}(\tau) := \sum_{x,y} q^{x^2+xy+y^2}
    $$
    Alors on obtient : $2\Theta^2 = 3E_2(q^3)-E_2(q)$ et en notant $u_n := \# \{ (x,y,z,t) \, x^2+xy+y^2+z^2+zt+t^2 = n \}$, on obtient :
    $$
    u_n = 12 \sum_{d \mid n \atop d \not\equiv 0 \bmod 3} d
    $$
    Par exemple, pour $n := 12$ on trouve $12 \times (1+2+4) = 84$. Donc $84$ représentations de $12$ sous la forme
    $x^2+xy+y^2+z^2+zt+t^2 = 12$ ...

    C'est un peu brouillon !

    C'est une manière un peu particulière de compter :-D

    L'idée c'est que l'on dispose d'espace vectoriel de dimension fini et (important) on a une vrai base construite à partir les séries d'Eisenstein.
  • @flip flop
    A propos des sommes de 4 carrés et des sommes de certains diviseurs de $n$.
    Pour $n$ pair :
    $$
    \sum_{d \mid n \atop d \not\equiv 0 \bmod 4} d =
    \sum_{d \mid n \atop d \ \rm impair} d + \sum_{d' \mid n \atop d' \equiv 2 \bmod 4} d' =
    \sum_{d \mid n \atop d \ \rm impair} d + 2 \sum_{d \mid n \atop d\ \rm impair } d =
    3 \sum_{d \mid n \atop d\ \rm impair } d
    $$
    A un moment donné, pour $d' \equiv 2 \bmod 4$, j'ai posé (cela ne se voit pas) $d' = 4e+2 = 2(2e+1)$ puis $2e+1 \leftrightarrow d$ ...etc..
    Cela fait ton affaire ?

    Autre chose : je vois qu'avec $x^2 + xy + y^2$, on prend goût à la fumette ?
  • Ok pour les $4$ carrés et la décomposition !

    Sinon, j'ai regardé un peu ce que Serre fait dans le cours d'arithmétique. Il traite de $\text{PSL}_2(\Z)$, ici on a besoin d'un peu plus et il parle de fonction theta pour des formes quadratiques en dimension "n".

    Est-ce que tu as un petit plan pour les sous groupes de congruence, ou alors une petite référence (hum, j'ai vraiment peur avec les références classiques) où l'on peut voir un peu les histoires modulaires en action ?
  • Claude :

    C'est la fonction zéta d'une courbe elliptique (celle que l'on obtient en comptant les points sur les corps finis) qui est "modulaire" ?

    Je vais retourner au comptage des points sur les corps finis des courbes elliptiques.
  • @flip flop
    Je n'ai pas répondu à ton avant dernier post (concernant les références sur le monde de la fumette) car je ne savais pas quoi répondre.

    Ton dernier post : oui, pour une courbe elliptique rationnelle $E$, le comptage des points modulo $p$ de $E$ conduit à une forme modulaire de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(N)$ où $N$ est le conducteur de $E$.

    Le ``petit'' (sic) problème est de définir tout ce beau monde.

    (1) Existence d'un modèle minimal sur $\Z$ d'une équation de Weierstrass de $E$ et unicité à un $\Z$-isomorphisme près.

    (2) Définir (ou savoir ?) ce qu'est le conducteur $N$ de $E$ (j'y ai renoncé depuis pas mal de temps).

    (3) Définir de manière précise ce qu'est le comptage des points modulo $p$. Il faut définir de manière ultra-carrée ce qu'est, pour un premier donné, la famille $(t_{p^r})_{r \ge 0}$ associée à $E$. On va dire que c'est du type $L$-série.
    $$
    L_{E/\mathbb F_p} = {1 \over (1-T)(1-pT) Z_{E/\mathbb F_p}(T)} = 1 + t_p T + \cdots = \sum_{r \ge 0} t_{p^r} T^r
    $$
    (4) Ensuite, rassembler (via un assemblage multiplicatif) tous les objets modulo $p$ pour fabriquer un objet modulaire ``de la caractéristique $0$'' (c'est moi qui dit) pour obtenir le Graal :
    $$
    \sum_{n \ge 1} t_n q^n = q \pm \cdots \qquad \qquad (\star)
    $$
    (5) Et enfin, à ce moment, tu peux déguster. Car $(\star)$ est le développement en $q = e^{2i\pi\tau}$ d'un habitant de $S_2(\Gamma_0(N))$ (sous-espace de $M_2(\Gamma_0(N))$ constitué des formes dites paraboliques ou cuspidales).
  • @flip flop
    Dans mon dernier post, ce que je devrais dire (et que je n'ai pas dit vu mon blocage analytique) c'est qu'une courbe elliptique rationnelle $E$ possède une $L$-série :
    $$
    L_E(s) = {\zeta(s) \zeta(s-1) \over \prod_p Z_{E/\mathbb F_p}(p^{-s})}
    $$
    Je n'ai parlé que des ``Euler facteurs''. Do you see what I mean ? Par exemple :
    $$
    \zeta(s) = \prod_p {1 \over 1 - p^{-s}} = \prod_p Z_p(p^{-s}) \qquad \qquad Z_p(T) = {1 \over 1-T}
    $$
    et
    $$
    \zeta(s-1) = \prod_p {1 \over 1 - p^{-{s-1}}} = \prod_p Z'_p(p^{-s}) \qquad \qquad Z'_p(T) = {1 \over 1-pT}
    $$
    De toutes manières, dans le cas d'une courbe elliptique rationnelle $E$, on a absolument besoin du comptage modulo $p$ et de dire combien cela fait $Z_{E/\mathbb F_p}(T)$ que $p$ soit de bonne ou mauvaise réduction. Do you see what I mean again ?

    Et à un certain moment, dans l'autre fil, on s'est, en un certain sens, égaré. Suite à ton erreur de comptage dans un cas de mauvaise réduction. Tu saurais retrouver ? Et cela a dévié sur $x^n = y^n(x + a)$ et du comptage dans les corps de nombres (ce qui n'est quand même pas étranger à ..). Et ensuite, je ne sais plus pour quelle raison, le corps des écoles s'est pointé ...etc...

    Oui, on peut dire que l'on s'est égaré mais mais ``Monsieur, oui on parlait, mais on parlait de maths'' (ou du moins, on essayait).
  • @Claude : Bah oui, je suis parti en vrille (mais vraiment en vrille :-D) avec $y^n=x^n(x+a)$ ! Mais je t'ai pris au pied de la lettre : regarde ici, c'est toi qui a dit qu'il fallait terminer $y^n=x^n(x+a)$ :-D

    Je vais reprendre un peu le Koblitz !
  • @flip flop
    Voilà où on en était au 30 Janvier 2017. Le point (2) n'a jamais été terminé. J'ai juste recompilé le fichier (d'où l'estampille du 15 avril), corrigé quelques coquilles, et ajouté un point à la fin. Mais, il s'est passé un certain nombre de choses depuis 2 mois dont j'ai du mal à rendre compte.

    Un des gros problèmes que nous rencontrons en permanence c'est que nous ne comprenons pas tel ou tel point. D'où pas mal de trous. Nous faisons alors des pauses pour essayer de boucher ces trous mais d'autres trous apparaissent. Et le temps passe. Des jours, des semaines, et souvent des mois. Et on perd le fil de ..

    J'avais bien proposé une stratégie pour combattre ces désagréments mais personne n'a voulu m'écouter. Je la réitère pour l'avenir ; elle est simple : pourquoi ne pas comprendre tout, et tout de suite, sans que cela ne traîne des semaines et des semaines. Cela nous ferait gagner beaucoup de temps et on pourrait ainsi avancer. Qu'en dis tu ?
  • Petit lien : ici

    Pour $p = 3 \pmod{4}$.

    Je suis entrain de faire le tri avec mes fichiers latex ... et les exemples dans le forum ... c'est un peu le bordel :-D

    Pour $p=1 \pmod{4}$

    lien
  • @flip flop
    Un peu, tu trouves ? Je ne sais pas si on aura le courage de .. Et dans ce domaine (en faire pas mal mais sans conclure) $1 - \varepsilon = 0$.
  • Claude, on est bon pour $E_{n^2} \, : \, y^2=x^3-n^2x$.
    On a toute les fonctions zéta local.
    Si $p$ divise $2n$ alors : $$
    Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{1}{(1-T)(1-pT)}
    $$ Sinon, si $p=3 \pmod{4}$ alors $$
    Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{1+pT^2}{{(1-T)(1-pT)}}
    $$ si $p=1 \pmod{4}$ alors $$
    Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{(1-\alpha T)(1-\overline{\alpha}T)}{{(1-T)(1-pT)}}
    $$ Avec $\alpha$ construit de la manière suivante.

    Edit : Lorsque $n$ est un carré modulo $p$.
    $\alpha := a+ib \in \Z[ i]$ avec $N(\alpha)=p$ et $b=0 \pmod{2}$ et $a=1+b\pmod{4}$

    Lorsque $n$ n'est pas un carré modulo $p$.
    $\alpha := a+ib \in \Z[ i]$ avec $N(\alpha)=p$ et $b=0 \pmod{2}$ et $a=-1-b\pmod{4}$

    On comprends bien le rôle de $\zeta(s) \zeta(s-1)$ qui va chasser les numérateurs communs.
  • @flipflop :

    C'était l'époque où je ne pouvais pas vous suivre ! (td)

    P.S. : J'adore tes pdf ! ;-)
  • @Gai requin : Le pire c'est que c'est toi qui a fait le calcul de congruence dans $\Z[ i]$ :)

    Y'a plus qu'a faire le produit, regrouper, trifouiller, bricoler et obtenir une fonction modulaire ahahah, j'aimerai bien faire ça, après je stop les maths pour réviser le concours l'année prochaine !!!
  • @flip flop
    Merci pour les retrouvailles. Comme tout ceci est loin, on va faire $n=1$ i.e. jouer avec la courbe elliptique $E_1 : y^2 = x^3 - x$. En louchant sur Koblitz, il faut être capable de déterminer la famille d'entiers $(t_n)_{n \ge 1}$ telle que :
    $$
    L_{E_1}(s) = \sum_{n \ge 1} t_n n^{-s} \qquad\qquad (\star)
    $$
    Evidemment le $n$ ci-dessus en indice de la somme n'a rien à voir avec le $n$ de la courbe $E_{n^2}$ de Koblitz.

    Mais déjà, avant d'obtenir $(\star)$, il faut se rendre compte du bonheur que l'on a sous la main d'avoir les fonctions zeta locales. Car cela constitue le théorème de Gauss. Je prends juste un exemple avec bien sûr $p \equiv 1 \bmod 4$ car c'est plus sport que $p \equiv 3 \bmod 4$. C'est histoire de se remettre dans le bain :

    > E := EllipticCurve([-1,0]) ;
    > p := 4*Random(10,10^2) + 1 ; repeat p := p+4 ; until IsPrime(p) ;
    > p ;
    389
    > Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
    > tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
    > tp ;
    -34
    > tp eq p+1 - #Ep ;
    true
    > pi := PrimaryFactor(p) ;
    > pi ;
    -10*i - 17
    > tp eq Trace(pi) ;
    true
    
    Le $\pi$ en question vérifie $p = \pi\overline\pi$ et il est normalisé au sens où $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. C'est cela le théorème de Gauss i.e. que :
    $$
    \#E(\mathbb F_p) = p+1 - t_p \qquad \hbox {avec} \quad t_p = \mathrm {Trace}(\pi)
    $$
    OK ? Bien sûr $E$ c'est $E_1$. Note : PrimaryFactor c'est un truc de mézigue bricolé à partir de Primary de magma.

    Le deuxième bonheur, c'est que l'on t'annonce que :
    $$
    f_E = \sum_{n \ge 1} t_n q^n, \qquad \qquad (\star')
    $$
    est une forme modulaire de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(32)$ : 32 c'est le conducteur de la courbe elliptique $E_1$. Et là, tu es prié de t'extasier.


    > E := EllipticCurve([-1,0]) ;
    > E ;
    Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
    > Conductor(E) ;
    32
    > fE := ModularForm(E) ;
    > fE ;
    q - 2*q^5 - 3*q^9 + O(q^12)
    > Parent(fE) ;
    Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring.
    > 
    > M2Gamma0_32 := ModularForms(Gamma0(32),2) ;
    > M2Gamma0_32 ;
    Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 8 over Integer Ring.
    > S2Gamma0_32 := CuspidalSubspace(M2Gamma0_32) ;
    > S2Gamma0_32 ;
    Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring.
    > 
    > graal := Basis(S2Gamma0_32)[1] ;
    > qExpansion(graal, 100) ;
    q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 
        - 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)
    >                                                                                                                                          
    > qExpansion(fE, 100) ;   
    q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 
     - 6*q^73 + 9*q^81 -   4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)
    

    Par chance, l'espace $S_2(\Gamma_0(32))$ où vit $f_E$ est de dimension 1. Pour peu que l'on trouve dans la nature un habitant de cet espace $S_2(\Gamma_0(32))$ produit par une autre théorie, ça va beugner comme on dit chez nous autres.

    Bon, c'est juste un petit aperçu de la chose, histoire de s'y remettre. Pour l'instant, il faut assembler les fonctions zeta locales pour obtenir $(\star)$ ou $(\star')$, c'est pareil. Il va intervenir une sorte de caractère $\chi$ défini sur les idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ qui fera que :
    $$
    f_E = \sum_I \chi(I)\ q^{N(I)}
    $$
    La somme porte sur les idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ et $N(I)$ c'est la norme i.e. $N(\langle a+ib\rangle) = N(a + ib) = a^2 + b^2$. Le ``caractère'' $\chi$ est défini sur les idéaux premiers et propagé par multiplicativité.
    Ben, faut ouvrir de nouveau Koblitz. Et on a les moyens de s'apercevoir si on a compris ou pas (en ayant fait plus que de l'ouvrir i.e. en lisant !).
  • @flip flop
    Juste un exemple d'aller dans la nature à la recherche de $S_2(\Gamma_0(32))$. Et je ne suis pas hors-sujet vu le titre te ton fil. Tu as peut-être entendu parler du discriminant modulaire $\Delta$, qui est, dans le contexte des réseaux de $\C$, la quantité $g_2^3 - 27g_3^2$ attachée à l'équation elliptique $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$ (c'est le discriminant de $4X^3 - g_2X - g_3$, divisé par $16$).

    Mais on va $(2i\pi)$-épurer le binz et exprimer le discriminant modulaire en fonction des séries d'Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ (tu sais, l'activité qui consiste à faire attention aux constantes). On trouve :
    $$
    \Delta_{2i\pi(\Z \oplus \Z\tau)} = {E_4^3(q) - E_6^2(q) \over 12^3} = {E_4^3(q) - E_6^2(q) \over 1728} \qquad \qquad q = e^{2i\pi\tau}
    $$
    Et on un célébre résultat (Jacobi, je pense) qui annonce :
    $$
    \Delta(q) = q \prod_{n \ge 1} (1 - q^n)^{24}
    $$
    On introduit alors la fonction $\eta$ de Dedekind qui est la racine 24-ième du discriminant modulaire :
    $$
    \eta(q) = q^{1 \over 24} \prod_{n \ge 1} (1 - q^n)
    $$
    Et la chute, c'est que le $\eta$-produit suivant :
    $$
    \big( \eta(q^4) \eta(q^8) \big)^2 \quad \hbox {est une forme parabolique de poids 2 pour $\Gamma_0(32)$}
    $$
    I.e. un habitant de $S_2(\Gamma_0(32))$. Mais c'est déjà habité par la forme modulaire de comptage de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - x$.

    Tu imagines ce qui va arriver ?
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