Produit tensoriel

Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur ce que l'on appelle le produit tensoriel. Je n'ai pas trop compris ce que c'était ni ce que ça faisais en pratique, néanmoins il me semble que ça veut transformer des "problèmes" bilinéaires en "problèmes" linéaire (je ne sais pas trop comment le dire : mon cours est très théorique et manque d'exemples).

J'ai donc voulu essayer de tester cet objet sur un exemple (à priori simple), mais j'ai du mal. (Dans le cadre de mon cours, le corps de référence $K$ sera toujours le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes).

1. Quelle peut-être une base de $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ ?
Une base de $\mathbb{C}^2$ est $B=(e_1,e_2)=((1,0),(0,1))$ donc une base de $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ est donnée par les produits tensoriels des éléments de B avec eux-mêmes, c'est-à-dire que $B'=( e_i\otimes e_j \ ;\ i,j\in\{1,2\} )$ en est en base. Sauf que je ne comprends pas comment calculer les $e_i\otimes e_j $.

2. Décomposer $(2,0) \otimes (3,6)$ dans cette base.
Là, j'ai envie de dire que :

$(2,0) \otimes (3,6)=(2e_1)\otimes (3e_1+6e_2)= (2e_1)\otimes(3e_1)+(2e_1)\otimes(6e_2) =6 (e_1 \otimes e_1)+12 (e_1 \otimes e_2)$,

mais je vois pas comment continuer.

Cordialement,

Réponses

  • 1. Pourquoi voudrais-tu les "calculer" ?
    2. Pourquoi voudrais-tu continuer ? C'est fini.
  • Bonjour. En fait, je ne sais pas pourquoi je voudrais les calculer comme tu dis : un peu comme une multiplication ou une addition, j'étais parti du principe que le produit tensoriel de deux éléments de la base doit faire quelque chose qu'on peut expliciter un peu plus, ai-je tort ? Le problème du produit tensoriel, c'est que je ne le comprends pas. La preuve ici, j'essaie de répondre à des questions, mais je n'ai aucun recul sur ce que je fais...
  • Ça viendra (peut-être).
    Un exemple : $\mathrm{Hom}(\mathbb C^n, \mathbb C^p)$ (l'espace des applications linéaires de $\mathbb C^n$ dans $\mathbb C^p$, autrement dit l'espace des matrices $n\times p$) s'identifie canoniquement à $(\mathbb C^n)^*\otimes \mathbb C^p$. L'isomorphisme d'identification envoie la matrice élémentaire $E_{i,j}$ sur l'élément de la base canonique $e_i^*\otimes e_j$.
  • Tu as tout bien fait, il ne faut pas chercher à dérouler plus loin les calculs. Les éléments $e_i \otimes e_j$ sont les briques de base de ton produit tensoriel.

    L'intérêt est en effet de transformer du bilinéaire en linéaire. En l'occurrence, on construit $E \otimes F$ de sorte que $\lambda(x \otimes y) = \lambda x \otimes y = x \otimes \lambda y$ avec des notations évidentes. Il n'y a rien de mystique derrière. Après on peut s'amuser à faire des propriétés universelles dans tous les sens pour prouver l'existence de tel ou tel truc (c'est très utile ! je ne dis pas le contraire), mais au niveau des vecteurs qui vivent dans $E \otimes F$ c'est tout ce qu'il y a à comprendre !
  • Le produit tensoriel de deux espaces porte mal son nom ... L'impression que tu aurais encore quelque chose à calculer, alors qu'avec les données que tu possèdes, tu ne peux guère aller plus loin s'explique de la façon suivante. "Le" produit tensoriel de $E$ et $F$ (disons sur un corps $K$) n'existe pas. On peut montrer l'existence de produits tensoriels et il y a unicité de tels espaces à unique isomorphisme près. Donc "un" produit tensoriel est un espace G, muni d'une application bilinéaire $E\times F\longrightarrow G$, qui vérifie un axiome classique (problème universel). L'application $E\times F\longrightarrow G$ est traditionnellement notée $(x,y)\mapsto x\otimes y$. Dans beaucoup de cas, il existe un modèle "concret" "du" produit tensoriel $G$, et dans ce cas ça a un sens de vouloir calculer $x\otimes y$ dans ce modèle particulier $G$. Cependant tant que tu n'as pas fixé un modèle, terminer le calcul comme tu le proposes n'a pas de sens.

    Donnons un exemple avec ${\mathbb C}^2 \times {\mathbb C}^2$. Identifions le premier facteur ${\mathbb C}^2$ avec l'ensemble de matrices complexes de taille $2\times 1$, et identifions le second facteur ${\mathbb C}^2$ avec l'ensemble des matrices complexes de taille $1\times 2$. Alors un produit tensoriel est $G ={\rm M}(2,{\mathbb C})$, où l'application $\otimes$ est donnée par $X\otimes Y = XY$ (produit matriciel d'une colonne par une ligne).
  • Merci à tous pour vos précisions !

    Du coup, le produit tensoriel est-il intrinsèque ou pas ? Ici on n'a fait que des calculs relativement à une base arbitraire.

    Une autre question, parce qu'il y a encore des points flous, on peut définir le produit tensoriel de deux espaces vectoriels, ou encore de deux éléments d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels, mais peut-on définir le produit tensoriel de deux applications linéaires ? Je demande ça parce que d'après ce que j'ai compris de mon cours, l'ensemble $B(E,F;\mathbb{C})$ des formes bilinéaires sur $\mathbb{C}$ serait isomorphe à l'ensemble $L(E\otimes F,\mathbb{C})$. Il y a donc tout un tas de formules mais pas vraiment de sens pour montrer ça donc j'essaie de voir ça par moi-même. Si j'appelle $b : E\times F \to \mathbb{C}$ une forme bilinéaire symétrique, alors je lui associe la forme linéaire
    $b(x,y)=(f\otimes g)(x\otimes y)=f(x) g(y)$

    où $f : E \to \mathbb{C}$ et $g : F\to \mathbb{C}$, sauf que je ne sais pas trop ce que cela signifie $f \otimes g$.

    Cordialement,
  • La définition de $f\otimes g$ est donnée dans ton égalité, non ?
    Bien sûr, elle n'est définie que pour des éléments de la forme $x\otimes y$, mais il n'y a qu'une seule façon de la prolonger en une forme linéaire sur $E\otimes F$.
  • un_kiwi écrivait:
    > l'ensemble espace $B(E,F;\mathbb{C})$ des formes bilinéaires sur $\mathbb{C}$ serait
    > isomorphe à l'ensemble espace $L(E\otimes F,\mathbb{C})$.

    Tout simplement, à la forme bilinéaire $b: E\times F\to \C$ on fait correspondre l'application linéaire $E\otimes F\to \mathbb{C}$ qui envoie $x\otimes y$ sur $b(x,y)$.
  • Ok. Du coup, j'ai commencé à faire un exercice relatif au produit tensoriel, mais je suis bloqué à la seconde question.

    Déjà, on considère une représentation complexe $\rho : G\to \mathrm{GL}(V)$ et on note $\rho \otimes \rho$ la représentation correspondante sur $V\otimes V$ (cela signifie-t-il que $\rho \otimes \rho : G\times G \to \mathrm{GL}(V\otimes V)$ ?). On définit $\tau : V\otimes V \to V\otimes V$ par $\tau (a\otimes b)=b\otimes a)$.

    1. Montrer que $\tau$ est diagonalisable.
    Je dis que $P=X^2-1$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples dans $\mathbb{C}$ donc $\tau $ est diagonalisable et son spectre est $\{ -1,1\}$.

    2. On note $S$ (resp. $\Lambda$) le sous-espace propre de $\tau$ associé à la valeur propre $1$ (resp. $ -1$).
    Montrer que $\tau $ est un $G$-endomorphisme de $V\otimes V$ et en déduire que $V\otimes V=S\oplus \Lambda$.
    Là je ne vois pas comment faire. J'ai déjà du mal avec ce qu'on appelle les $G$-morphismes.
  • Non $\rho \otimes \rho : G \rightarrow GL(V \otimes V)$ par $\rho(g)(e_i \otimes e_j) = \rho(g)e_i \otimes \rho(g)e_j$.

    Ensuite un $G$-morphisme ça veut juste dire que c'est un morphisme qui commute à l'action de $G$. Ici il faut montrer que $\tau((\rho \otimes \rho)(g)u) = (\rho \otimes \rho)(g)(\tau u)$ pour tout $u \in V \otimes V$. Par linéarité il suffit de le vérifier sur les éléments d'une base et c'est immédiat ;-)

    Ensuite tu as déjà dit que $\tau$ était diagonalisable, et comme c'est un $G$-endomorphisme ses sous-espaces propres sont $G$-stables. Comme tu connais les valeurs propres de $\tau$ tu obtiendras facilement la décomposition souhaitée :-)
  • Merci pour votre aide :-)
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