Cercle unité sur corps fini

Bonjour,

Petit problème : Soit $p$ un premier ($\ne 2$) on considère le corps fini $\mathbb{F}_{p^r}$ de cardinal $p^r$. Est-ce que l'on peut évaluer
$$
N_r := \text{Card} \{(x,y) \in \mathbb{F}_{p^r}, \, x^2+y^2=1 \}
$$

Réponses

  • Oui, si je ne me trompe pas on a $N_r=p^r-1$ si $\sqrt{-1}\in \mathbb{F}_{p^r}$ et $p^r+1$ sinon
  • Bonjour,

    Si $x=1+u, y=tu$, on est ramené à $(1+u)^2+t^2u^2=1$, donc $2u+u^2+t^2u^2=0$.
    Donc $u=0$ et $x=1, y=0$.
    Ou $u=\frac{-2}{1+t^2}$ et $t^2+1 \neq 0$.
    Donc $N_r$ doit être égal au cardinal de $\{t\mid t^2 \neq -1 \}$ plus $1$.
  • Plus simplement: soit $F=\mathbb{F}_{p^r}[T]/(T^2+1)$, $F^\times$ le groupe des unités de $F$ et $N:F^\times\to \mathbb{F}_{p^r}^\times$ la norme. Tu veux calculer le cardinal du noyau de $N$. Or, $N$ est surjective donc $\lvert Ker N\rvert=\lvert F^\times\rvert/(p^r-1)$.
  • Merci a vous deux ...

    @Pea : je vois pour le cas $-1$ est un carré. Disons $i^2=-1$, tu factorises $x^2+y^2 = (x+iy)(x-iy)$. Pour l'autre cas, j'aurais tendance à me placer dans $\mathbb{F}_{q^2}$ et résoudre (par ta méthode) dans $\mathbb{F}_{q^2}$ et ensuite faire agir le morphisme de Frobenius $x \to x^q$ sur les solutions (prendre que les points fixes). Je vais réfléchir un peu pour voir si je peux mettre cette idée en place.

    @Marco : c'est plus géométrique ce que tu proposes ? Une sorte de paramétrage du cercle ?
  • @flip flop
    Petite précision par rapport à Pea. Soit $k$ un corps fini de caractéristique $\ne 2$ de cardinal $q$ et $N$ le nombre que tu cherches.

    (1) $x^2 + y^2 = 1$ a toujours une solution : compte le nombre de $x^2$ et le nombre de $1-y^2$.

    (2) La conique projective $x^2 + y^2 = z^2$ est donc isomorphe à $\mathbb P^1(k)$ et par conséquent de cardinal $q+1$.

    (3) En affine : combien de points à l'infini sur la conique projective i.e. combien de point(s) projectif(s) $(x : y : 0)$ avec $x^2 + y^2 = 0$ ? Si $-1$ non carré dans $k$, aucun, donc $N = q+1$. Si, au contraire $-1 = i^2$, il y a les deux points $(i : \pm i : 0)$ que tu dois supprimer pour trouver $N = q+1 - 2 = q-1$. Comme Pea.
  • @flipflop: oui, on choisit un point du cercle (ici $(1,0)$) et la droite $D_t$ de pente $t$ passant par $(1,0)$. On considère alors le point $M(t)$ qui est le deuxième point d'intersection entre $D_t$ et le cercle.
  • @flip flop
    Dans mon post, les points (1) et (2) sont évidents. Sûr que $x^2 + y^2 = 1$ admet un point puisqu'il suffit de prendre $x=1, y=0$ !

    Mais on peut étudier le cas plus général de $x^2 + y^2 = a$ sur un corps fini $k$ de caractéristique $\ne 2$, de cardinal $q$ où $a \in k^*$. Et là encore, il y au moins un point car les deux ensembles $\{ x^2, x \in k \}$ et $\{a - y^2, y \in k \}$ ont une intersection non vide (examiner leurs cardinaux). Alors que $a$ n'est pas nécessairement un carré.

    Bilan : la conique projective $x^2 + y^2 = az^2$ est isomorphe à $\mathbb P^1(k)$ donc possède $q+1$ points. Et le nombre de points de $x^2 + y^2 = a$ ...etc... pareil que pour $a=1$.
  • Hello Claude,

    Oui, c'est joli le coup du comptage de $x^2$ et $a-y^2$ ! J'aurais peut être du posé la question dans le projectif car le comptage est plus propre.
  • La solution de Péa ici me semble un peu mystérieuse !

    Si j'ai compris, on considère la norme $N : \Z[ i] \to \Z$ qui induit un morphisme de groupe (multiplicatif) surjectif :
    $$
    \tilde{N} : \left(\Z[ i] /(p) \right)^\star \to \left( \Z / (p) \right)^\star$$
    et donc ça le fait ! (car $\left(\Z[ i] /(p) \right)^\star$ est isomorphe à $\mathbb{F}_p \times \mathbb{F}_p$ ou $\mathbb{F}_{p^2}$ selon que $-1$ est un carré ou non.

    Du coup, même idée avec $x^2+5y^2=1$. On va dans $\Z[\sqrt{-5}]$. (mince je suis hors sujet avec mon titre ... on va dire que $x^2+5y^2=1$ c'est bien un cercle unité dans une autre métrique OUF :-D)
  • Hello
    J'ai deux directions pour généraliser $$
    N_r := \text{Card} \{(x,y,z) \in \mathbb{F}_{p^r}, \, x^2+y^2+z^2=1 \}
    $$ ou $$
    N_r := \text{Card} \{(x,y) \in \mathbb{F}_{p^r}, \, x^3+y^3=1 \}
    $$ En fait, je pense que les suites $N_r$ vont toujours vérifiant une relation de récurrence linéaire.

    Ps : @Claude, est-ce que je peux remettre ton épreuve de prépa agrégation ici sur les sommes de Gauss et de Jacobi ?
  • @flip flop
    Oui si tu veux. Mais une épreuve de préparation à l'Agrégation, ce n'est pas ce que l'on fait de plus pédagogique ! C'est haché menu, avec je ne sais combien de questions et sous-questions, on peut (??) avoir un peu de mal à savoir où l'on va. Le seul avantage que j'y vois, c'est que c'est ``self-contained''.
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